Cálculo Ejemplos

${(3 t - 1)}^{3} d t$

Paso 1

Sea $u = 3 t - 1$ . Entonces $d u = 3 d t$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 3 t - 1$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $3 t - 1$ .

$\frac{d}{d t} [3 t - 1]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 t - 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d t} [3 t]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3 t$ con respecto a $t$ es $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$3 + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $3$ y $0$ .

$3$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int u^{3} \frac{1}{3} d u$

Paso 2

Combina $u^{3}$ y $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{u^{3}}{3} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int u^{3} d u$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{3}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reescribe $\frac{1}{3} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$ como $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 4} u^{4} + C$

Paso 5.2.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{1}{12} u^{4} + C$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 t - 1$ .

$\frac{1}{12} {(3 t - 1)}^{4} + C$