Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + 2 x}{\sqrt{x + 9} - 3}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 9} - 3}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 9} - 3}$

Paso 1.1.2.2

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 9} - 3}$

Paso 1.1.2.3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 9} - 3}$

Paso 1.1.2.4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.2.4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 9} - 3}$

Paso 1.1.2.4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0^{2} + 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 9} - 3}$

Paso 1.1.2.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.5.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 9} - 3}$

Paso 1.1.2.5.1.2

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 9} - 3}$

Paso 1.1.2.5.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 9} - 3}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 9} - lim_{x \to 0} 3}$

Paso 1.1.3.1.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 9} - lim_{x \to 0} 3}$

Paso 1.1.3.1.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 9} - lim_{x \to 0} 3}$

Paso 1.1.3.1.4

Evalúa el límite de $9$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 9} - lim_{x \to 0} 3}$

Paso 1.1.3.1.5

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 9} - 1 \cdot 3}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{0 + 9} - 1 \cdot 3}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.3.1.1

Suma $0$ y $9$ .

$\frac{0}{\sqrt{9} - 1 \cdot 3}$

Paso 1.1.3.3.1.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{0}{\sqrt{3^{2}} - 1 \cdot 3}$

Paso 1.1.3.3.1.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

Paso 1.1.3.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $3$ de $3$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + 2 x}{\sqrt{x + 9} - 3} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 9} - 3]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 9} - 3]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 9} - 3]}$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 9} - 3]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 1.3.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 9} - 3]}$

Paso 1.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 9} - 3]}$

Paso 1.3.4.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 9} - 3]}$

Paso 1.3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt{x + 9} - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 9}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 9}] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 1.3.6

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 9}]$ .

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Paso 1.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 9}$ como ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{d}{d x} [{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 1.3.6.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x + 9$ .

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Paso 1.3.6.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 9$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 9] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 1.3.6.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 9] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 1.3.6.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 9$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 9] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 1.3.6.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 1.3.6.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [9]) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 1.3.6.5

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 1.3.6.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 1.3.6.7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 1.3.6.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 1.3.6.9

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.6.9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 1.3.6.9.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 1.3.6.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x + 9)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 1.3.6.11

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x + 9)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 1.3.6.12

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{{(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 1.3.6.13

Multiplica $\frac{{(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{{(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 1.3.6.14

Mueve ${(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 1.3.7

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Paso 1.3.8

Suma $\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ y $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 0} (2 x + 2) (2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 1.5

Reescribe ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x + 9}$ .

$lim_{x \to 0} (2 x + 2) (2 \sqrt{x + 9})$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 lim_{x \to 0} (2 x + 2) \sqrt{x + 9}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$2 lim_{x \to 0} 2 x + 2 \cdot lim_{x \to 0} \sqrt{x + 9}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$2 (lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 2) \cdot lim_{x \to 0} \sqrt{x + 9}$

Paso 2.4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 (2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 2) \cdot lim_{x \to 0} \sqrt{x + 9}$

Paso 2.5

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$2 (2 lim_{x \to 0} x + 2) \cdot lim_{x \to 0} \sqrt{x + 9}$

Paso 2.6

Mueve el límite debajo del signo radical.

$2 (2 lim_{x \to 0} x + 2) \cdot \sqrt{lim_{x \to 0} x + 9}$

Paso 2.7

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$2 (2 lim_{x \to 0} x + 2) \cdot \sqrt{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 9}$

Paso 2.8

Evalúa el límite de $9$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$2 (2 lim_{x \to 0} x + 2) \cdot \sqrt{lim_{x \to 0} x + 9}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$2 (2 \cdot 0 + 2) \cdot \sqrt{lim_{x \to 0} x + 9}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$2 (2 \cdot 0 + 2) \cdot \sqrt{0 + 9}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$2 (0 + 2) \cdot \sqrt{0 + 9}$

Paso 4.2

Suma $0$ y $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot \sqrt{0 + 9}$

Paso 4.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 \cdot \sqrt{0 + 9}$

Paso 4.4

Suma $0$ y $9$ .

$4 \cdot \sqrt{9}$

Paso 4.5

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$4 \cdot \sqrt{3^{2}}$

Paso 4.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$4 \cdot 3$

Paso 4.7

Multiplica $4$ por $3$ .

$12$