Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 \sqrt[3]{- x - 2} + 6$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 \sqrt[3]{- x - 2} + 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 \sqrt[3]{- x - 2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \sqrt[3]{- x - 2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 \sqrt[3]{- x - 2}]$ .

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Paso 1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{- x - 2}$ como ${(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [3 {(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.2.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 {(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [{(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ y $g (x) = - x - 2$ .

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Paso 1.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x - 2$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [- x - 2]) + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [- x - 2]) + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x - 2$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [- x - 2]) + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.2.4

Según la regla de la suma, la derivada de $- x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.2.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.2.7

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.2.8

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.2.9

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.2.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.2.11

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.11.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1 - 3}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.2.11.2

Resta $3$ de $1$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{- 2}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.2.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.2.13

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} (- 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.2.14

Suma $- 1$ y $0$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.2.15

Combina $\frac{1}{3}$ y ${(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$3 (\frac{{(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.2.16

Combina $\frac{{(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ y $- 1$ .

$3 \frac{{(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} \cdot - 1}{3} + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.2.17

Mueve $- 1$ a la izquierda de ${(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$3 \frac{- 1 \cdot {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.2.18

Reescribe $- 1 {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ como $- {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$3 \frac{- {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.2.19

Mueve ${(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 \frac{- 1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.2.20

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 (- \frac{1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}) + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.2.21

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 \frac{1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.2.22

Combina $- 3$ y $\frac{1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{- 3}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.2.23

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.2.24

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.24.1

Factoriza $3$ de $3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 ({(- x - 2)}^{\frac{2}{3}})} + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.2.24.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.2.24.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.2.25

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + 0$

Paso 1.3.2

Suma $- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ y $0$ .

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.1

Reescribe $\frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ como ${({(- x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {({(- x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.2.2

Multiplica los exponentes en ${({(- x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(- x - 2)}^{\frac{2}{3} \cdot - 1} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.2.2.2

Multiplica $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Paso 2.2.2.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(- x - 2)}^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.2.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(- x - 2)}^{\frac{- 2}{3}} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- \frac{2}{3}}$ y $g (x) = - x - 2$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x - 2$ .

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3} u^{- \frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x - 2$ .

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3} \cdot {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3} \cdot {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.5

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3} \cdot {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3} \cdot {(- x - 2)}^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.7

Simplifica el numerador.

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Paso 2.7.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3} \cdot {(- x - 2)}^{\frac{- 2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.7.2

Resta $3$ de $- 2$ .

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3} \cdot {(- x - 2)}^{\frac{- 5}{3}} \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.8

Combina fracciones.

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Paso 2.8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3} \cdot {(- x - 2)}^{- \frac{5}{3}} \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.8.2

Combina ${(- x - 2)}^{- \frac{5}{3}}$ y $\frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = - (- \frac{{(- x - 2)}^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.8.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.8.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de ${(- x - 2)}^{- \frac{5}{3}}$ .

$f'' (x) = - (- \frac{2 \cdot {(- x - 2)}^{- \frac{5}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.8.3.2

Mueve ${(- x - 2)}^{- \frac{5}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.8.3.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.8.3.4

Multiplica $\frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x - 2) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.9

Según la regla de la suma, la derivada de $- x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.10

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.12

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot (- 1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.13

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot (- 1 + 0) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.14

Combina fracciones.

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Paso 2.14.1

Suma $- 1$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot - 1 + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.14.2

Combina $\frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}}$ y $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot - 1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.14.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.14.3.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.14.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.15

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Paso 2.16

Simplifica la expresión.

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Paso 2.16.1

Multiplica $\frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ por $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Paso 2.16.2

Suma $- \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}}$ y $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 \sqrt[3]{- x - 2} + 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 \sqrt[3]{- x - 2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \sqrt[3]{- x - 2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 \sqrt[3]{- x - 2}]$ .

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Paso 4.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{- x - 2}$ como ${(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [3 {(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 4.1.2.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 {(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [{(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 4.1.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ y $g (x) = - x - 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x - 2$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [- x - 2]) + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 4.1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [- x - 2]) + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 4.1.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x - 2$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [- x - 2]) + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 4.1.2.4

Según la regla de la suma, la derivada de $- x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 4.1.2.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 4.1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 4.1.2.7

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 4.1.2.8

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 4.1.2.9

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 4.1.2.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 4.1.2.11

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.11.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1 - 3}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 4.1.2.11.2

Resta $3$ de $1$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{- 2}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 4.1.2.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 4.1.2.13

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} (- 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 4.1.2.14

Suma $- 1$ y $0$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 4.1.2.15

Combina $\frac{1}{3}$ y ${(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$3 (\frac{{(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 4.1.2.16

Combina $\frac{{(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ y $- 1$ .

$3 \frac{{(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} \cdot - 1}{3} + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 4.1.2.17

Mueve $- 1$ a la izquierda de ${(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$3 \frac{- 1 \cdot {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 4.1.2.18

Reescribe $- 1 {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ como $- {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$3 \frac{- {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 4.1.2.19

Mueve ${(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 \frac{- 1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 4.1.2.20

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 (- \frac{1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}) + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 4.1.2.21

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 \frac{1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 4.1.2.22

Combina $- 3$ y $\frac{1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{- 3}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 4.1.2.23

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 4.1.2.24

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.2.24.1

Factoriza $3$ de $3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 ({(- x - 2)}^{\frac{2}{3}})} + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 4.1.2.24.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 4.1.2.24.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 4.1.2.25

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.1.3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + 0$

Paso 4.1.3.2

Suma $- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ y $0$ .

$f' (x) = - \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Paso 5.2

Establece el numerador igual a cero.

$1 = 0$

Paso 5.3

Como $1 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$- \frac{1}{\sqrt[3]{{(- x - 2)}^{2}}}$

Paso 6.2

Establece el denominador en $\frac{1}{\sqrt[3]{{(- x - 2)}^{2}}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt[3]{{(- x - 2)}^{2}} = 0$

Paso 6.3

Resuelve $x$

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Paso 6.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[3]{{(- x - 2)}^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{{(- x - 2)}^{2}}$ como ${(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

${({(- x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.2.1

Multiplica los exponentes en ${({(- x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Paso 6.3.2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x - 2)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.3.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

${(- x - 2)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(- x - 2)}^{2} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

${(- x - 2)}^{2} = 0$

Paso 6.3.3

Resuelve $x$

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Paso 6.3.3.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.3.3.1.1

Factoriza $- 1$ de $- x - 2$ .

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Paso 6.3.3.1.1.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

${(- (x) - 2)}^{2} = 0$

Paso 6.3.3.1.1.2

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

${(- (x) - 1 \cdot 2)}^{2} = 0$

Paso 6.3.3.1.1.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (2)$ .

${(- (x + 2))}^{2} = 0$

Paso 6.3.3.1.2

Aplica la regla del producto a $- (x + 2)$ .

${(- 1)}^{2} {(x + 2)}^{2} = 0$

Paso 6.3.3.2

Divide cada término en ${(- 1)}^{2} {(x + 2)}^{2} = 0$ por ${(- 1)}^{2}$ y simplifica.

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Paso 6.3.3.2.1

Divide cada término en ${(- 1)}^{2} {(x + 2)}^{2} = 0$ por ${(- 1)}^{2}$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} {(x + 2)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Paso 6.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.3.2.2.1

Cancela el factor común de ${(- 1)}^{2}$ .

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Paso 6.3.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{{(- 1)}^{2} {(x + 2)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Paso 6.3.3.2.2.1.2

Divide ${(x + 2)}^{2}$ por $1$ .

${(x + 2)}^{2} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Paso 6.3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.3.2.3.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

${(x + 2)}^{2} = \frac{0}{1}$

Paso 6.3.3.2.3.2

Divide $0$ por $1$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Paso 6.3.3.3

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 6.3.3.4

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = - 2$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = - 2$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{2}{3 {(- (- 2) - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica la expresión.

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Paso 9.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$- \frac{2}{3 {(2 - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 9.1.2

Resta $2$ de $2$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}$

Paso 9.1.3

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 9.1.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Paso 9.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 9.2.1

Cancela el factor común.

$- \frac{2}{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Paso 9.2.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{2}{3 \cdot 0^{5}}$

Paso 9.3

Simplifica la expresión.

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Paso 9.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 0}$

Paso 9.3.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$- \frac{2}{0}$

Paso 9.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$- \frac{2}{0}$

Paso 9.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 10

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

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Paso 10.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Paso 10.2

Sustituye cualquier número, como $- 4$ , del intervalo $(- \infty, - 2)$ en la primera derivada $- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 10.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f' (- 4) = - \frac{1}{{(- (- 4) - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 10.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.2.2.1

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$f' (- 4) = - \frac{1}{{(4 - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 10.2.2.1.2

Resta $2$ de $4$ .

$f' (- 4) = - \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$

Paso 10.2.2.2

La respuesta final es $- \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$

Paso 10.3

Sustituye cualquier número, como $0$ , del intervalo $(- 2, \infty)$ en la primera derivada $- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 10.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f' (0) = - \frac{1}{{(- (0) - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 10.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.3.2.1

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f' (0) = - \frac{1}{{(0 - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 10.3.2.1.2

Resta $2$ de $0$ .

$f' (0) = - \frac{1}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 10.3.2.2

La respuesta final es $- \frac{1}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{1}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 10.4

Como la primera derivada no cambió los signos alrededor de $x = - 2$ , no es un máximo local ni un mínimo local.

No es un máximo local ni un mínimo local

Paso 10.5

No se obtuvieron máximos ni mínimos locales para $f (x) = 3 \sqrt[3]{- x - 2} + 6$ .

No hay máximos ni mínimos locales

Paso 11