Cálculo Ejemplos

$x^{3} y = - 5 - 3 x^{2}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{3} y) = \frac{d}{d x} (- 5 - 3 x^{2})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x^{3} y' + y \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$x^{3} y' + y (3 x^{2})$

Paso 2.4

Reordena.

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Paso 2.4.1

Mueve $3$ a la izquierda de $y$ .

$x^{3} y' + 3 \cdot y x^{2}$

Paso 2.4.2

Reordena los términos.

$x^{3} y' + 3 x^{2} y$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia.

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Paso 3.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 5 - 3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Paso 3.1.2

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - 3 (2 x)$

Paso 3.2.3

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$0 - 6 x$

Paso 3.3

Resta $6 x$ de $0$ .

$- 6 x$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$x^{3} y' + 3 x^{2} y = - 6 x$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Resta $3 x^{2} y$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{3} y' = - 6 x - 3 x^{2} y$

Paso 5.2

Divide cada término en $x^{3} y' = - 6 x - 3 x^{2} y$ por $x^{3}$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $x^{3} y' = - 6 x - 3 x^{2} y$ por $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} y'}{x^{3}} = \frac{- 6 x}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2} y}{x^{3}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{3} y'}{x^{3}} = \frac{- 6 x}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2} y}{x^{3}}$

Paso 5.2.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 6 x}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2} y}{x^{3}}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1.1

Cancela el factor común de $x$ y $x^{3}$ .

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Paso 5.2.3.1.1.1

Factoriza $x$ de $- 6 x$ .

$y' = \frac{x \cdot - 6}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2} y}{x^{3}}$

Paso 5.2.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.1.1.2.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$y' = \frac{x \cdot - 6}{x \cdot x^{2}} + \frac{- 3 x^{2} y}{x^{3}}$

Paso 5.2.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{x \cdot - 6}{x \cdot x^{2}} + \frac{- 3 x^{2} y}{x^{3}}$

Paso 5.2.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- 6}{x^{2}} + \frac{- 3 x^{2} y}{x^{3}}$

Paso 5.2.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{6}{x^{2}} + \frac{- 3 x^{2} y}{x^{3}}$

Paso 5.2.3.1.3

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x^{3}$ .

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Paso 5.2.3.1.3.1

Factoriza $x^{2}$ de $- 3 x^{2} y$ .

$y' = - \frac{6}{x^{2}} + \frac{x^{2} (- 3 y)}{x^{3}}$

Paso 5.2.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.1.3.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$y' = - \frac{6}{x^{2}} + \frac{x^{2} (- 3 y)}{x^{2} x}$

Paso 5.2.3.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$y' = - \frac{6}{x^{2}} + \frac{x^{2} (- 3 y)}{x^{2} x}$

Paso 5.2.3.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{6}{x^{2}} + \frac{- 3 y}{x}$

Paso 5.2.3.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{6}{x^{2}} - \frac{3 y}{x}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6}{x^{2}} - \frac{3 y}{x}$