Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 4} {(\frac{3 x - 4}{x^{2} + 3 x - 1})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 1

Mueve el exponente $\frac{1}{3}$ de ${(\frac{3 x - 4}{x^{2} + 3 x - 1})}^{\frac{1}{3}}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

${(lim_{x \to 4} \frac{3 x - 4}{x^{2} + 3 x - 1})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $4$ .

${(\frac{lim_{x \to 4} 3 x - 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 3 x - 1})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $4$ .

${(\frac{lim_{x \to 4} 3 x - lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 3 x - 1})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 4

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

${(\frac{3 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 3 x - 1})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 5

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $4$ .

${(\frac{3 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 3 x - 1})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $4$ .

${(\frac{3 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + lim_{x \to 4} 3 x - lim_{x \to 4} 1})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 7

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

${(\frac{3 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + lim_{x \to 4} 3 x - lim_{x \to 4} 1})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 8

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

${(\frac{3 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 1})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 9

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $4$ .

${(\frac{3 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 1})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 10

Evalúa los límites mediante el ingreso de $4$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 10.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $4$ para $x$ .

${(\frac{3 \cdot 4 - 1 \cdot 4}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 1})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 10.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $4$ para $x$ .

${(\frac{3 \cdot 4 - 1 \cdot 4}{4^{2} + 3 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 1})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 10.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $4$ para $x$ .

${(\frac{3 \cdot 4 - 1 \cdot 4}{4^{2} + 3 \cdot 4 - 1 \cdot 1})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 11

Simplifica la respuesta.

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Paso 11.1

Simplifica el numerador.

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Paso 11.1.1

Multiplica $3$ por $4$ .

${(\frac{12 - 1 \cdot 4}{4^{2} + 3 \cdot 4 - 1 \cdot 1})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 11.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

${(\frac{12 - 4}{4^{2} + 3 \cdot 4 - 1 \cdot 1})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 11.1.3

Resta $4$ de $12$ .

${(\frac{8}{4^{2} + 3 \cdot 4 - 1 \cdot 1})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 11.2

Simplifica el denominador.

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Paso 11.2.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

${(\frac{8}{16 + 3 \cdot 4 - 1 \cdot 1})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 11.2.2

Multiplica $3$ por $4$ .

${(\frac{8}{16 + 12 - 1 \cdot 1})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 11.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

${(\frac{8}{16 + 12 - 1})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 11.2.4

Suma $16$ y $12$ .

${(\frac{8}{28 - 1})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 11.2.5

Resta $1$ de $28$ .

${(\frac{8}{27})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 11.3

Aplica la regla del producto a $\frac{8}{27}$ .

$\frac{8^{\frac{1}{3}}}{27^{\frac{1}{3}}}$

Paso 11.4

Simplifica el numerador.

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Paso 11.4.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{{(2^{3})}^{\frac{1}{3}}}{27^{\frac{1}{3}}}$

Paso 11.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{3 (\frac{1}{3})}}{27^{\frac{1}{3}}}$

Paso 11.4.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 11.4.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2^{3 (\frac{1}{3})}}{27^{\frac{1}{3}}}$

Paso 11.4.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2^{1}}{27^{\frac{1}{3}}}$

Paso 11.4.4

Evalúa el exponente.

$\frac{2}{27^{\frac{1}{3}}}$

Paso 11.5

Simplifica el denominador.

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Paso 11.5.1

Reescribe $27$ como $3^{3}$ .

$\frac{2}{{(3^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 11.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3^{3 (\frac{1}{3})}}$

Paso 11.5.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 11.5.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{3^{3 (\frac{1}{3})}}$

Paso 11.5.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{3^{1}}$

Paso 11.5.4

Evalúa el exponente.

$\frac{2}{3}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{2}{3}$

Forma decimal:

$0.\overline{6}$