Cálculo Ejemplos

$2 \arctan (x)$

Paso 1

Escribe $2 \arctan (x)$ como una función.

$f (x) = 2 \arctan (x)$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int 2 \arctan (x) d x$

Paso 4

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \arctan (x) d x$

Paso 5

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \arctan (x)$ y $d v = 1$ .

$2 (\arctan (x) x - \int x \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Paso 6

Combina $x$ y $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$2 (\arctan (x) x - \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

Paso 7

Sea $u = x^{2} + 1$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 7.1

Deja $u = x^{2} + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 7.1.1

Diferencia $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 7.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 7.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 7.1.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 7.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$2 (\arctan (x) x - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$2 (\arctan (x) x - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

Paso 8.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$2 (\arctan (x) x - \int \frac{1}{2 u} d u)$

Paso 9

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$2 (\arctan (x) x - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u))$

Paso 10

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$2 (\arctan (x) x - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C))$

Paso 11

Simplifica.

$2 (\arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| u |)) + C$

Paso 12

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 1$ .

$2 (\arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Combina $\ln (| x^{2} + 1 |)$ y $\frac{1}{2}$ .

$2 (\arctan (x) x - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2}) + C$

Paso 13.2

Para escribir $\arctan (x) x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 (\arctan (x) x \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2}) + C$

Paso 13.3

Combina $\arctan (x) x$ y $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{\arctan (x) x \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2}) + C$

Paso 13.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 \frac{\arctan (x) x \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

Paso 13.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 13.5.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{\arctan (x) x \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

Paso 13.5.2

Reescribe la expresión.

$\arctan (x) x \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Paso 13.6

Mueve $2$ a la izquierda de $\arctan (x) x$ .

$2 \arctan (x) x - \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Paso 13.7

Reordena los factores en $2 \arctan (x) x - \ln (| x^{2} + 1 |)$ .

$2 x \arctan (x) - \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Paso 14

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = 2 \arctan (x)$ .

$F (x) =$ $2 x \arctan (x) - \ln (| x^{2} + 1 |) + C$