Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 9} \frac{x + \sqrt{x} - 12}{x - 9}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 9} x + \sqrt{x} - 12}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $9$ .

$\frac{lim_{x \to 9} x + lim_{x \to 9} \sqrt{x} - lim_{x \to 9} 12}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Paso 1.1.2.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{lim_{x \to 9} x + \sqrt{lim_{x \to 9} x} - lim_{x \to 9} 12}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Paso 1.1.2.3

Evalúa el límite de $12$ que es constante cuando $x$ se acerca a $9$ .

$\frac{lim_{x \to 9} x + \sqrt{lim_{x \to 9} x} - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Paso 1.1.2.4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $9$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.2.4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $9$ para $x$ .

$\frac{9 + \sqrt{lim_{x \to 9} x} - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Paso 1.1.2.4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $9$ para $x$ .

$\frac{9 + \sqrt{9} - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Paso 1.1.2.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.5.1.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{9 + \sqrt{3^{2}} - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Paso 1.1.2.5.1.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{9 + 3 - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Paso 1.1.2.5.1.3

Multiplica $- 1$ por $12$ .

$\frac{9 + 3 - 12}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Paso 1.1.2.5.2

Suma $9$ y $3$ .

$\frac{12 - 12}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Paso 1.1.2.5.3

Resta $12$ de $12$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - lim_{x \to 9} 9}$

Paso 1.1.3.1.2

Evalúa el límite de $9$ que es constante cuando $x$ se acerca a $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 9}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $9$ para $x$ .

$\frac{0}{9 - 1 \cdot 9}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$\frac{0}{9 - 9}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $9$ de $9$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 9} \frac{x + \sqrt{x} - 12}{x - 9} = lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [x + \sqrt{x} - 12]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [x + \sqrt{x} - 12]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + \sqrt{x} - 12$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Paso 1.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Paso 1.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Paso 1.3.4.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Paso 1.3.4.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Paso 1.3.4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Paso 1.3.4.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.4.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Paso 1.3.4.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Paso 1.3.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Paso 1.3.5

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Paso 1.3.6

Simplifica.

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Paso 1.3.6.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Paso 1.3.6.2

Combina los términos.

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Paso 1.3.6.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Paso 1.3.6.2.2

Suma $1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ y $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Paso 1.3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Paso 1.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Paso 1.3.9

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Paso 1.3.10

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Paso 1.4

Reescribe $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{1}$

Paso 1.5

Combina los términos.

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Paso 1.5.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{1}$

Paso 1.5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{2 \sqrt{x} + 1}{2 \sqrt{x}}}{1}$

Paso 1.6

Divide $\frac{2 \sqrt{x} + 1}{2 \sqrt{x}}$ por $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2 \sqrt{x} + 1}{2 \sqrt{x}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 9} \frac{2 \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $9$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 9} 2 \sqrt{x} + 1}{lim_{x \to 9} \sqrt{x}}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $9$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 9} 2 \sqrt{x} + lim_{x \to 9} 1}{lim_{x \to 9} \sqrt{x}}$

Paso 2.4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 9} \sqrt{x} + lim_{x \to 9} 1}{lim_{x \to 9} \sqrt{x}}$

Paso 2.5

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 9} x} + lim_{x \to 9} 1}{lim_{x \to 9} \sqrt{x}}$

Paso 2.6

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $9$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 9} x} + 1}{lim_{x \to 9} \sqrt{x}}$

Paso 2.7

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 9} x} + 1}{\sqrt{lim_{x \to 9} x}}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $9$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $9$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{9} + 1}{\sqrt{lim_{x \to 9} x}}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $9$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{9} + 1}{\sqrt{9}}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{3^{2}} + 1}{\sqrt{9}}$

Paso 4.1.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 3 + 1}{\sqrt{9}}$

Paso 4.1.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{6 + 1}{\sqrt{9}}$

Paso 4.1.4

Suma $6$ y $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{\sqrt{9}}$

Paso 4.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{\sqrt{3^{2}}}$

Paso 4.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{3}$

Paso 4.3

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{3}$ .

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Paso 4.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{7}{3}$ .

$\frac{7}{2 \cdot 3}$

Paso 4.3.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{7}{6}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{7}{6}$

Forma decimal:

$1.1\overline{6}$