Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{\infty} \frac{5}{x^{4}} d x$

Paso 1

Escribe la integral como un límite a medida que $t$ se acerca a $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{5}{x^{4}} d x$

Paso 2

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{4}} d x$

Paso 3

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 3.1

Mueve $x^{4}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{1}^{t} {(x^{4})}^{- 1} d x$

Paso 3.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Paso 3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{1}^{t} x^{4 \cdot - 1} d x$

Paso 3.2.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{1}^{t} x^{- 4} d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 4}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3} x^{- 3}]_{1}^{t})$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Simplifica.

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Paso 5.1.1

Combina $x^{- 3}$ y $\frac{1}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{x^{- 3}}{3}]_{1}^{t})$

Paso 5.1.2

Mueve $x^{- 3}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 x^{3}}]_{1}^{t})$

Paso 5.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.2.1

Evalúa $- \frac{1}{3 x^{3}}$ en $t$ y en $1$ .

$lim_{t \to \infty} 5 ((- \frac{1}{3 t^{3}}) + \frac{1}{3 \cdot 1^{3}})$

Paso 5.2.2

Simplifica.

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Paso 5.2.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 t^{3}} + \frac{1}{3 \cdot 1})$

Paso 5.2.2.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 t^{3}} + \frac{1}{3})$

Paso 6

Evalúa el límite.

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Paso 6.1

Evalúa el límite.

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Paso 6.1.1

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$5 lim_{t \to \infty} - \frac{1}{3 t^{3}} + \frac{1}{3}$

Paso 6.1.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $\infty$ .

$5 (- lim_{t \to \infty} \frac{1}{3 t^{3}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{3})$

Paso 6.1.3

Mueve el término $\frac{1}{3}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$5 (- \frac{1}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{t^{3}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{3})$

Paso 6.2

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{t^{3}}$ se acerca a $0$ .

$5 (- \frac{1}{3} \cdot 0 + lim_{t \to \infty} \frac{1}{3})$

Paso 6.3

Evalúa el límite.

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Paso 6.3.1

Evalúa el límite de $\frac{1}{3}$ que es constante cuando $t$ se acerca a $\infty$ .

$5 (- \frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{3})$

Paso 6.3.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.3.2.1

Multiplica $- \frac{1}{3} \cdot 0$ .

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Paso 6.3.2.1.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$5 (0 (\frac{1}{3}) + \frac{1}{3})$

Paso 6.3.2.1.2

Multiplica $0$ por $\frac{1}{3}$ .

$5 (0 + \frac{1}{3})$

Paso 6.3.2.2

Suma $0$ y $\frac{1}{3}$ .

$5 (\frac{1}{3})$

Paso 6.3.2.3

Combina $5$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5}{3}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{5}{3}$

Forma decimal:

$1.\overline{6}$

Forma de número mixto:

$1 \frac{2}{3}$