Cálculo Ejemplos

$x^{2} y^{2} - 2 x y + x^{2} = 1$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (x^{2} y^{2} - 2 x y + x^{2}) = \frac{d}{d y} (1)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} y^{2} - 2 x y + x^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = x^{2}$ y $g (y) = y^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} (2 y) + y^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{2}$ y $g (y) = x$ .

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Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x$ .

$x^{2} (2 y) + y^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} (2 y) + y^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x$ .

$x^{2} (2 y) + y^{2} (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Paso 2.2.4

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x^{2} (2 y) + y^{2} (2 x x') + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Paso 2.2.5

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} y + y^{2} (2 x x') + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Paso 2.2.6

Mueve $2$ a la izquierda de $y^{2}$ .

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- 2 x y]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 2 x y$ con respecto a $y$ es $- 2 \frac{d}{d y} [x y]$ .

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = x$ y $g (y) = y$ .

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Paso 2.3.4

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 (x \cdot 1 + y x') + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Paso 2.3.5

Multiplica $x$ por $1$ .

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 (x + y x') + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

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Paso 2.4.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{2}$ y $g (y) = x$ .

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Paso 2.4.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x$ .

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 (x + y x') + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]$

Paso 2.4.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 (x + y x') + 2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 2.4.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x$ .

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 (x + y x') + 2 x \frac{d}{d y} [x]$

Paso 2.4.2

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 (x + y x') + 2 x x'$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 x - 2 (y x') + 2 x x'$

Paso 2.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 x - 2 y x' + 2 x x'$

Paso 2.5.3

Reordena los términos.

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 y x' + 2 x x' - 2 x$

Paso 3

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 y x' + 2 x x' - 2 x = 0$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $x'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Resta $2 x^{2} y$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y^{2} x x' - 2 y x' + 2 x x' - 2 x = - 2 x^{2} y$

Paso 5.1.2

Suma $2 x$ a ambos lados de la ecuación.

$2 y^{2} x x' - 2 y x' + 2 x x' = - 2 x^{2} y + 2 x$

Paso 5.2

Factoriza $2 x'$ de $2 y^{2} x x' - 2 y x' + 2 x x'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $2 x'$ de $2 y^{2} x x'$ .

$2 x' (y^{2} x) - 2 y x' + 2 x x' = - 2 x^{2} y + 2 x$

Paso 5.2.2

Factoriza $2 x'$ de $- 2 y x'$ .

$2 x' (y^{2} x) + 2 x' (- y) + 2 x x' = - 2 x^{2} y + 2 x$

Paso 5.2.3

Factoriza $2 x'$ de $2 x x'$ .

$2 x' (y^{2} x) + 2 x' (- y) + 2 x' x = - 2 x^{2} y + 2 x$

Paso 5.2.4

Factoriza $2 x'$ de $2 x' (y^{2} x) + 2 x' (- y)$ .

$2 x' (y^{2} x - y) + 2 x' x = - 2 x^{2} y + 2 x$

Paso 5.2.5

Factoriza $2 x'$ de $2 x' (y^{2} x - y) + 2 x' x$ .

$2 x' (y^{2} x - y + x) = - 2 x^{2} y + 2 x$

Paso 5.3

Divide cada término en $2 x' (y^{2} x - y + x) = - 2 x^{2} y + 2 x$ por $2 (y^{2} x - y + x)$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $2 x' (y^{2} x - y + x) = - 2 x^{2} y + 2 x$ por $2 (y^{2} x - y + x)$ .

$\frac{2 x' (y^{2} x - y + x)}{2 (y^{2} x - y + x)} = \frac{- 2 x^{2} y}{2 (y^{2} x - y + x)} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x' (y^{2} x - y + x)}{2 (y^{2} x - y + x)} = \frac{- 2 x^{2} y}{2 (y^{2} x - y + x)} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x' (y^{2} x - y + x)}{y^{2} x - y + x} = \frac{- 2 x^{2} y}{2 (y^{2} x - y + x)} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $y^{2} x - y + x$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x' (y^{2} x - y + x)}{y^{2} x - y + x} = \frac{- 2 x^{2} y}{2 (y^{2} x - y + x)} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

Paso 5.3.2.2.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{- 2 x^{2} y}{2 (y^{2} x - y + x)} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 5.3.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 x^{2} y$ .

$x' = \frac{2 (- x^{2} y)}{2 (y^{2} x - y + x)} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

Paso 5.3.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x' = \frac{2 (- x^{2} y)}{2 (y^{2} x - y + x)} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

Paso 5.3.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x' = \frac{- x^{2} y}{y^{2} x - y + x} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

Paso 5.3.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x' = - \frac{x^{2} y}{y^{2} x - y + x} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

Paso 5.3.3.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.1.3.1

Cancela el factor común.

$x' = - \frac{x^{2} y}{y^{2} x - y + x} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

Paso 5.3.3.1.3.2

Reescribe la expresión.

$x' = - \frac{x^{2} y}{y^{2} x - y + x} + \frac{x}{y^{2} x - y + x}$

Paso 5.3.3.2

Simplifica los términos.

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Paso 5.3.3.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x' = \frac{- x^{2} y + x}{y^{2} x - y + x}$

Paso 5.3.3.2.2

Factoriza $x$ de $- x^{2} y + x$ .

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Paso 5.3.3.2.2.1

Factoriza $x$ de $- x^{2} y$ .

$x' = \frac{x (- x y) + x}{y^{2} x - y + x}$

Paso 5.3.3.2.2.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x' = \frac{x (- x y) + x^{1}}{y^{2} x - y + x}$

Paso 5.3.3.2.2.3

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$x' = \frac{x (- x y) + x \cdot 1}{y^{2} x - y + x}$

Paso 5.3.3.2.2.4

Factoriza $x$ de $x (- x y) + x \cdot 1$ .

$x' = \frac{x (- x y + 1)}{y^{2} x - y + x}$

Paso 5.3.3.2.3

Factoriza $- 1$ de $- x y$ .

$x' = \frac{x (- (x y) + 1)}{y^{2} x - y + x}$

Paso 5.3.3.2.4

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$x' = \frac{x (- (x y) - 1 (- 1))}{y^{2} x - y + x}$

Paso 5.3.3.2.5

Factoriza $- 1$ de $- (x y) - 1 (- 1)$ .

$x' = \frac{x (- (x y - 1))}{y^{2} x - y + x}$

Paso 5.3.3.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.3.2.6.1

Reescribe $- (x y - 1)$ como $- 1 (x y - 1)$ .

$x' = \frac{x (- 1 (x y - 1))}{y^{2} x - y + x}$

Paso 5.3.3.2.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x' = - \frac{x (x y - 1)}{y^{2} x - y + x}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x (x y - 1)}{y^{2} x - y + x}$