Cálculo Ejemplos

$e^{\frac{x + 1}{2}}$

Paso 1

Escribe $e^{\frac{x + 1}{2}}$ como una función.

$f (x) = e^{\frac{x + 1}{2}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int e^{\frac{x + 1}{2}} d x$

Paso 4

Sea $u = \frac{x + 1}{2}$ . Entonces $d u = \frac{1}{2} d x$ , de modo que $2 d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = \frac{x + 1}{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $\frac{x + 1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{2}]$

Paso 4.1.2

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x + 1}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x + 1]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 4.1.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 4.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 4.1.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2} (1 + 0)$

Paso 4.1.6

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 4.1.6.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$\int e^{u} (1 \cdot 2) d u$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\int e^{u} \cdot 2 d u$

Paso 5.3

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{u}$ .

$\int 2 e^{u} d u$

Paso 6

Dado que $2$ es constante con respecto a $u$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int e^{u} d u$

Paso 7

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$2 (e^{u} + C)$

Paso 8

Simplifica.

$2 e^{u} + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x + 1}{2}$ .

$2 e^{\frac{x + 1}{2}} + C$

Paso 10

Reordena los términos.

$2 e^{\frac{1}{2} (x + 1)} + C$

Paso 11

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = e^{\frac{x + 1}{2}}$ .

$F (x) =$ $2 e^{\frac{1}{2} (x + 1)} + C$