Cálculo Ejemplos

$f (x) = 12 \sqrt[3]{x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 1.2

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 x^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Paso 1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Paso 1.5

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 1.7.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Paso 1.7.2

Resta $3$ de $1$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Paso 1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$12 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Paso 1.9

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$12 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Paso 1.10

Combina $12$ y $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{12 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Paso 1.11

Mueve $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{12}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.12

Factoriza $3$ de $12$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.13

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.13.1

Factoriza $3$ de $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Paso 1.13.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.13.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 2.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ como ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1})$

Paso 2.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3} \cdot - 1})$

Paso 2.2.2.2

Multiplica $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Paso 2.2.2.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $- 1$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}})$

Paso 2.2.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 2}{3}})$

Paso 2.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{- \frac{2}{3}})$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1})$

Paso 2.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Paso 2.5

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = 4 (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 2.7

Simplifica el numerador.

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Paso 2.7.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 3}{3}})$

Paso 2.7.2

Resta $3$ de $- 2$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 5}{3}})$

Paso 2.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = 4 (- \frac{2}{3} x^{- \frac{5}{3}})$

Paso 2.9

Combina $x^{- \frac{5}{3}}$ y $\frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3})$

Paso 2.10

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3}$

Paso 2.11

Combina $- 4$ y $\frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2)}{3}$

Paso 2.12

Simplifica la expresión.

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Paso 2.12.1

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{- \frac{5}{3}}}{3}$

Paso 2.12.2

Mueve $x^{- \frac{5}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Paso 2.12.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{8}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 4.1.2

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 x^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Paso 4.1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Paso 4.1.5

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 4.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 4.1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.7.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Paso 4.1.7.2

Resta $3$ de $1$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Paso 4.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$12 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Paso 4.1.9

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$12 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Paso 4.1.10

Combina $12$ y $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{12 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Paso 4.1.11

Mueve $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{12}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.1.12

Factoriza $3$ de $12$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.1.13

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.13.1

Factoriza $3$ de $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Paso 4.1.13.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.1.13.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Paso 5.2

Establece el numerador igual a cero.

$4 = 0$

Paso 5.3

Como $4 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{4}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Paso 6.2

Establece el denominador en $\frac{4}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Paso 6.3

Resuelve $x$

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Paso 6.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x^{2}}$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Paso 6.3.2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.3.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 6.3.3

Resuelve $x$

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Paso 6.3.3.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 6.3.3.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 6.3.3.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 6.3.3.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 6.3.3.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 0$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{8}{3 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica la expresión.

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Paso 9.1.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$- \frac{8}{3 {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 9.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{8}{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Paso 9.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 9.2.1

Cancela el factor común.

$- \frac{8}{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Paso 9.2.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{8}{3 \cdot 0^{5}}$

Paso 9.3

Simplifica la expresión.

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Paso 9.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{8}{3 \cdot 0}$

Paso 9.3.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$- \frac{8}{0}$

Paso 9.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$- \frac{8}{0}$

Paso 9.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 10

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

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Paso 10.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 10.2

Sustituye cualquier número, como $- 2$ , del intervalo $(- \infty, 0)$ en la primera derivada $\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 10.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = \frac{4}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 10.2.2

La respuesta final es $\frac{4}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 10.3

Sustituye cualquier número, como $2$ , del intervalo $(0, \infty)$ en la primera derivada $\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 10.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = \frac{4}{{(2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 10.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.3.2.1

Elimina los paréntesis.

$f' (2) = \frac{4}{2^{\frac{2}{3}}}$

Paso 10.3.2.2

La respuesta final es $\frac{4}{2^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4}{2^{\frac{2}{3}}}$

Paso 10.4

Como la primera derivada no cambió los signos alrededor de $x = 0$ , no es un máximo local ni un mínimo local.

No es un máximo local ni un mínimo local

Paso 10.5

No se obtuvieron máximos ni mínimos locales para $f (x) = 12 \sqrt[3]{x}$ .

No hay máximos ni mínimos locales

Paso 11