Cálculo Ejemplos

$- 5 + 3 y^{3} = 5 y^{2} + 3 y + x^{2}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (- 5 + 3 y^{3}) = \frac{d}{d x} (5 y^{2} + 3 y + x^{2})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 5 + 3 y^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Paso 2.1.2

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 y^{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 y^{3}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$0 + 3 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$0 + 3 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$0 + 3 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$0 + 3 (3 y^{2} y')$

Paso 2.2.4

Multiplica $3$ por $3$ .

$0 + 9 y^{2} y'$

Paso 2.3

Suma $0$ y $9 y^{2} y'$ .

$9 y^{2} y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 y^{2} + 3 y + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 y^{2}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$5 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$5 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$5 (2 y y') + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2.4

Multiplica $2$ por $5$ .

$10 y y' + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 y]$ .

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Paso 3.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 y$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$10 y y' + 3 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$10 y y' + 3 y' + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.4.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$10 y y' + 3 y' + 2 x$

Paso 3.4.2

Reordena los términos.

$10 y y' + 2 x + 3 y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$9 y^{2} y' = 10 y y' + 2 x + 3 y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Como $y'$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$10 y y' + 2 x + 3 y' = 9 y^{2} y'$

Paso 5.2

Resta $9 y^{2} y'$ de ambos lados de la ecuación.

$10 y y' + 2 x + 3 y' - 9 y^{2} y' = 0$

Paso 5.3

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$10 y y' + 3 y' - 9 y^{2} y' = - 2 x$

Paso 5.4

Factoriza $y'$ de $10 y y' + 3 y' - 9 y^{2} y'$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $y'$ de $10 y y'$ .

$y' (10 y) + 3 y' - 9 y^{2} y' = - 2 x$

Paso 5.4.2

Factoriza $y'$ de $3 y'$ .

$y' (10 y) + y' \cdot 3 - 9 y^{2} y' = - 2 x$

Paso 5.4.3

Factoriza $y'$ de $- 9 y^{2} y'$ .

$y' (10 y) + y' \cdot 3 + y' (- 9 y^{2}) = - 2 x$

Paso 5.4.4

Factoriza $y'$ de $y' (10 y) + y' \cdot 3$ .

$y' (10 y + 3) + y' (- 9 y^{2}) = - 2 x$

Paso 5.4.5

Factoriza $y'$ de $y' (10 y + 3) + y' (- 9 y^{2})$ .

$y' (10 y + 3 - 9 y^{2}) = - 2 x$

Paso 5.5

Reordena los términos.

$y' (- 9 y^{2} + 10 y + 3) = - 2 x$

Paso 5.6

Divide cada término en $y' (- 9 y^{2} + 10 y + 3) = - 2 x$ por $- 9 y^{2} + 10 y + 3$ y simplifica.

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Paso 5.6.1

Divide cada término en $y' (- 9 y^{2} + 10 y + 3) = - 2 x$ por $- 9 y^{2} + 10 y + 3$ .

$\frac{y' (- 9 y^{2} + 10 y + 3)}{- 9 y^{2} + 10 y + 3} = \frac{- 2 x}{- 9 y^{2} + 10 y + 3}$

Paso 5.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.6.2.1

Cancela el factor común de $- 9 y^{2} + 10 y + 3$ .

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Paso 5.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (- 9 y^{2} + 10 y + 3)}{- 9 y^{2} + 10 y + 3} = \frac{- 2 x}{- 9 y^{2} + 10 y + 3}$

Paso 5.6.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{- 9 y^{2} + 10 y + 3}$

Paso 5.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.6.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{2 x}{- 9 y^{2} + 10 y + 3}$

Paso 5.6.3.2

Factoriza $- 1$ de $- 9 y^{2}$ .

$y' = - \frac{2 x}{- (9 y^{2}) + 10 y + 3}$

Paso 5.6.3.3

Factoriza $- 1$ de $10 y$ .

$y' = - \frac{2 x}{- (9 y^{2}) - (- 10 y) + 3}$

Paso 5.6.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (9 y^{2}) - (- 10 y)$ .

$y' = - \frac{2 x}{- (9 y^{2} - 10 y) + 3}$

Paso 5.6.3.5

Reescribe $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$y' = - \frac{2 x}{- (9 y^{2} - 10 y) - 1 (- 3)}$

Paso 5.6.3.6

Factoriza $- 1$ de $- (9 y^{2} - 10 y) - 1 (- 3)$ .

$y' = - \frac{2 x}{- (9 y^{2} - 10 y - 3)}$

Paso 5.6.3.7

Simplifica la expresión.

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Paso 5.6.3.7.1

Reescribe $- (9 y^{2} - 10 y - 3)$ como $- 1 (9 y^{2} - 10 y - 3)$ .

$y' = - \frac{2 x}{- 1 (9 y^{2} - 10 y - 3)}$

Paso 5.6.3.7.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - - \frac{2 x}{9 y^{2} - 10 y - 3}$

Paso 5.6.3.7.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y' = 1 \frac{2 x}{9 y^{2} - 10 y - 3}$

Paso 5.6.3.7.4

Multiplica $\frac{2 x}{9 y^{2} - 10 y - 3}$ por $1$ .

$y' = \frac{2 x}{9 y^{2} - 10 y - 3}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{9 y^{2} - 10 y - 3}$