Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} + 4 v^{8}}{v^{5}} d v$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Factoriza $v^{4}$ de $v^{4} + 4 v^{8}$ .

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Paso 1.1.1

Multiplica por $1$ .

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} \cdot 1 + 4 v^{8}}{v^{5}} d v$

Paso 1.1.2

Factoriza $v^{4}$ de $4 v^{8}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} \cdot 1 + v^{4} (4 v^{4})}{v^{5}} d v$

Paso 1.1.3

Factoriza $v^{4}$ de $v^{4} \cdot 1 + v^{4} (4 v^{4})$ .

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} (1 + 4 v^{4})}{v^{5}} d v$

Paso 1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.1

Factoriza $v^{4}$ de $v^{5}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} (1 + 4 v^{4})}{v^{4} v} d v$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común.

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} (1 + 4 v^{4})}{v^{4} v} d v$

Paso 1.2.3

Reescribe la expresión.

$\int_{1}^{2} \frac{1 + 4 v^{4}}{v} d v$

Paso 2

Reordena $1$ y $4 v^{4}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{4 v^{4} + 1}{v} d v$

Paso 3

Divide $4 v^{4} + 1$ por $v$ .

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Paso 3.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

Paso 3.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $4 v^{4}$ por el término de mayor orden en el divisor $v$ .

$4 v^{3}$

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

Paso 3.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$4 v^{3}$

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

$4 v^{4}$

$0$

Paso 3.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $4 v^{4} + 0$ .

$4 v^{3}$

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

$4 v^{4}$

$0$

Paso 3.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$4 v^{3}$

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

$4 v^{4}$

$0$

Paso 3.6

Retira el próximo término del dividendo original hacia el dividendo actual.

$4 v^{3}$

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

$4 v^{4}$

$0$

$0 v^{2}$

$0 v$

Paso 3.7

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\int_{1}^{2} 4 v^{3} + \frac{1}{v} d v$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{2} 4 v^{3} d v + \int_{1}^{2} \frac{1}{v} d v$

Paso 5

Dado que $4$ es constante con respecto a $v$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int_{1}^{2} v^{3} d v + \int_{1}^{2} \frac{1}{v} d v$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $v^{3}$ con respecto a $v$ es $\frac{1}{4} v^{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} v^{4}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} \frac{1}{v} d v$

Paso 7

Combina $\frac{1}{4}$ y $v^{4}$ .

$4 (\frac{v^{4}}{4}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} \frac{1}{v} d v$

Paso 8

La integral de $\frac{1}{v}$ con respecto a $v$ es $\ln (| v |)$ .

$4 (\frac{v^{4}}{4}]_{1}^{2}) + \ln (| v |)]_{1}^{2}$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Sustituye y simplifica.

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Paso 9.1.1

Evalúa $\frac{v^{4}}{4}$ en $2$ y en $1$ .

$4 ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| v |)]_{1}^{2}$

Paso 9.1.2

Evalúa $\ln (| v |)$ en $2$ y en $1$ .

$4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Paso 9.1.3

Simplifica.

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Paso 9.1.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$4 (\frac{16}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Paso 9.1.3.2

Cancela el factor común de $16$ y $4$ .

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Paso 9.1.3.2.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$4 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Paso 9.1.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.1.3.2.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$4 (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Paso 9.1.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$4 (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Paso 9.1.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$4 (\frac{4}{1} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Paso 9.1.3.2.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$4 (4 - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Paso 9.1.3.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$4 (4 - \frac{1}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Paso 9.1.3.4

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$4 (4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Paso 9.1.3.5

Combina $4$ y $\frac{4}{4}$ .

$4 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Paso 9.1.3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 \frac{4 \cdot 4 - 1}{4} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Paso 9.1.3.7

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1.3.7.1

Multiplica $4$ por $4$ .

$4 \frac{16 - 1}{4} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Paso 9.1.3.7.2

Resta $1$ de $16$ .

$4 (\frac{15}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Paso 9.1.3.8

Combina $4$ y $\frac{15}{4}$ .

$\frac{4 \cdot 15}{4} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Paso 9.1.3.9

Multiplica $4$ por $15$ .

$\frac{60}{4} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Paso 9.1.3.10

Cancela el factor común de $60$ y $4$ .

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Paso 9.1.3.10.1

Factoriza $4$ de $60$ .

$\frac{4 \cdot 15}{4} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Paso 9.1.3.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.1.3.10.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{4 \cdot 15}{4 (1)} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Paso 9.1.3.10.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot 15}{4 \cdot 1} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Paso 9.1.3.10.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{15}{1} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Paso 9.1.3.10.2.4

Divide $15$ por $1$ .

$15 + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Paso 9.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$15 + \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$15 + \ln (\frac{2}{| 1 |})$

Paso 9.3.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$15 + \ln (\frac{2}{1})$

Paso 9.3.3

Divide $2$ por $1$ .

$15 + \ln (2)$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$15 + \ln (2)$

Forma decimal:

$15.69314718 \dots$

Paso 11