Cálculo Ejemplos

$\int \frac{3 x^{2} - 3 x + 6}{4 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x} d x$

Paso 1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Factoriza la fracción.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2} - 3 x + 6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.1.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2}) - 3 x + 6}{4 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x}$

Paso 1.1.1.1.2

Factoriza $3$ de $- 3 x$ .

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (- x) + 6}{4 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x}$

Paso 1.1.1.1.3

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (- x) + 3 (2)}{4 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x}$

Paso 1.1.1.1.4

Factoriza $3$ de $3 (x^{2}) + 3 (- x)$ .

$\frac{3 (x^{2} - x) + 3 (2)}{4 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x}$

Paso 1.1.1.1.5

Factoriza $3$ de $3 (x^{2} - x) + 3 (2)$ .

$\frac{3 (x^{2} - x + 2)}{4 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x}$

Paso 1.1.1.2

Factoriza $2 x$ de $4 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.2.1

Factoriza $2 x$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{3 (x^{2} - x + 2)}{2 x (2 x^{2}) - 6 x^{2} + 24 x}$

Paso 1.1.1.2.2

Factoriza $2 x$ de $- 6 x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} - x + 2)}{2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 3 x) + 24 x}$

Paso 1.1.1.2.3

Factoriza $2 x$ de $24 x$ .

$\frac{3 (x^{2} - x + 2)}{2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 3 x) + 2 x (12)}$

Paso 1.1.1.2.4

Factoriza $2 x$ de $2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 3 x)$ .

$\frac{3 (x^{2} - x + 2)}{2 x (2 x^{2} - 3 x) + 2 x (12)}$

Paso 1.1.1.2.5

Factoriza $2 x$ de $2 x (2 x^{2} - 3 x) + 2 x (12)$ .

$\frac{3 (x^{2} - x + 2)}{2 x (2 x^{2} - 3 x + 12)}$

Paso 1.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor es de segundo orden, se requieren $2$ términos en el numerador. El número de términos requeridos en el numerador siempre es igual al orden del factor en el denominador.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Paso 1.1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $2 x (2 x^{2} - 3 x + 12)$ .

$\frac{3 (x^{2} - x + 2) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x (2 x^{2} - 3 x + 12)} = \frac{A (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x} + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Paso 1.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (x^{2} - x + 2) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x (2 x^{2} - 3 x + 12)} = \frac{A (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x} + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Paso 1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 (x^{2} - x + 2) (x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x (2 x^{2} - 3 x + 12)} = \frac{A (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x} + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Paso 1.1.5

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (x^{2} - x + 2) (x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x (2 x^{2} - 3 x + 12)} = \frac{A (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x} + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Paso 1.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 (x^{2} - x + 2) (2 x^{2} - 3 x + 12)}{2 x^{2} - 3 x + 12} = \frac{A (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x} + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Paso 1.1.6

Cancela el factor común de $2 x^{2} - 3 x + 12$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (x^{2} - x + 2) (2 x^{2} - 3 x + 12)}{2 x^{2} - 3 x + 12} = \frac{A (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x} + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Paso 1.1.6.2

Divide $3 (x^{2} - x + 2)$ por $1$ .

$3 (x^{2} - x + 2) = \frac{A (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x} + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Paso 1.1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} + 3 (- x) + 3 \cdot 2 = \frac{A (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x} + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Paso 1.1.8

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.8.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$3 x^{2} - 3 x + 3 \cdot 2 = \frac{A (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x} + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Paso 1.1.8.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$3 x^{2} - 3 x + 6 = \frac{A (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x} + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Paso 1.1.9

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.9.1

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.9.1.1

Cancela el factor común.

$3 x^{2} - 3 x + 6 = \frac{A (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x} + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Paso 1.1.9.1.2

Divide $A (2 (2 x^{2} - 3 x + 12))$ por $1$ .

$3 x^{2} - 3 x + 6 = A (2 (2 x^{2} - 3 x + 12)) + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Paso 1.1.9.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 2 A (2 x^{2} - 3 x + 12) + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Paso 1.1.9.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 2 A (2 x^{2}) + 2 A (- 3 x) + 2 A \cdot 12 + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Paso 1.1.9.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.9.4.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 2 \cdot (2 A x^{2}) + 2 A (- 3 x) + 2 A \cdot 12 + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Paso 1.1.9.4.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 2 \cdot (2 A x^{2}) + 2 \cdot (- 3 A x) + 2 A \cdot 12 + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Paso 1.1.9.4.3

Multiplica $12$ por $2$ .

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 2 \cdot (2 A x^{2}) + 2 \cdot (- 3 A x) + 24 A + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Paso 1.1.9.5

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.9.5.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 A x^{2} + 2 \cdot (- 3 A x) + 24 A + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Paso 1.1.9.5.2

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 A x^{2} - 6 A x + 24 A + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Paso 1.1.9.6

Cancela el factor común de $2 x^{2} - 3 x + 12$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.9.6.1

Cancela el factor común.

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 A x^{2} - 6 A x + 24 A + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Paso 1.1.9.6.2

Divide $(B x + C) (2 x)$ por $1$ .

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 A x^{2} - 6 A x + 24 A + (B x + C) (2 x)$

Paso 1.1.9.7

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 A x^{2} - 6 A x + 24 A + B x (2 x) + C (2 x)$

Paso 1.1.9.8

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 A x^{2} - 6 A x + 24 A + 2 B x \cdot x + C (2 x)$

Paso 1.1.9.9

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 A x^{2} - 6 A x + 24 A + 2 B x \cdot x + 2 C x$

Paso 1.1.9.10

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.9.10.1

Mueve $x$ .

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 A x^{2} - 6 A x + 24 A + 2 B (x \cdot x) + 2 C x$

Paso 1.1.9.10.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 A x^{2} - 6 A x + 24 A + 2 B x^{2} + 2 C x$

Paso 1.1.10

Reordena.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.10.1

Mueve $A$ .

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 x^{2} A - 6 A x + 24 A + 2 B x^{2} + 2 C x$

Paso 1.1.10.2

Mueve $A$ .

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 x^{2} A - 6 x A + 24 A + 2 B x^{2} + 2 C x$

Paso 1.1.10.3

Mueve $B$ .

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 x^{2} A - 6 x A + 24 A + 2 x^{2} B + 2 C x$

Paso 1.1.10.4

Mueve $24 A$ .

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 x^{2} A - 6 x A + 2 x^{2} B + 2 C x + 24 A$

Paso 1.1.10.5

Mueve $- 6 x A$ .

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 x^{2} A + 2 x^{2} B - 6 x A + 2 C x + 24 A$

Paso 1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$3 = 4 A + 2 B$

Paso 1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$- 3 = - 6 A + 2 C$

Paso 1.2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$6 = 24 A$

Paso 1.2.4

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

$6 = 24 A$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

$6 = 24 A$

Paso 1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Resuelve $A$ en $6 = 24 A$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1.1

Reescribe la ecuación como $24 A = 6$ .

$24 A = 6$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

Paso 1.3.1.2

Divide cada término en $24 A = 6$ por $24$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1.2.1

Divide cada término en $24 A = 6$ por $24$ .

$\frac{24 A}{24} = \frac{6}{24}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

Paso 1.3.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1.2.2.1

Cancela el factor común de $24$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{24 A}{24} = \frac{6}{24}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

Paso 1.3.1.2.2.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{6}{24}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

$A = \frac{6}{24}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

$A = \frac{6}{24}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

Paso 1.3.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1.2.3.1

Cancela el factor común de $6$ y $24$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1.2.3.1.1

Factoriza $6$ de $6$ .

$A = \frac{6 (1)}{24}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

Paso 1.3.1.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1.2.3.1.2.1

Factoriza $6$ de $24$ .

$A = \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 4}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

Paso 1.3.1.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$A = \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 4}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

Paso 1.3.1.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$A = \frac{1}{4}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

$A = \frac{1}{4}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

$A = \frac{1}{4}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

$A = \frac{1}{4}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

$A = \frac{1}{4}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

$A = \frac{1}{4}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

Paso 1.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $\frac{1}{4}$ en cada ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $3 = 4 A + 2 B$ por $\frac{1}{4}$ .

$3 = 4 (\frac{1}{4}) + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

Paso 1.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$3 = 4 (\frac{1}{4}) + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

Paso 1.3.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

Paso 1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $A$ en $- 3 = - 6 A + 2 C$ por $\frac{1}{4}$ .

$- 3 = - 6 (\frac{1}{4}) + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Paso 1.3.2.4

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.2.4.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.2.4.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.2.4.1.1.1

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$- 3 = 2 (- 3) (\frac{1}{4}) + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Paso 1.3.2.4.1.1.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$- 3 = 2 \cdot (- 3 \frac{1}{2 \cdot 2}) + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Paso 1.3.2.4.1.1.3

Cancela el factor común.

$- 3 = 2 \cdot (- 3 \frac{1}{2 \cdot 2}) + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Paso 1.3.2.4.1.1.4

Reescribe la expresión.

$- 3 = - 3 (\frac{1}{2}) + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 3 = - 3 (\frac{1}{2}) + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Paso 1.3.2.4.1.2

Combina $- 3$ y $\frac{1}{2}$ .

$- 3 = \frac{- 3}{2} + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Paso 1.3.2.4.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 3 = - \frac{3}{2} + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 3 = - \frac{3}{2} + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 3 = - \frac{3}{2} + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 3 = - \frac{3}{2} + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Paso 1.3.3

Resuelve $C$ en $- 3 = - \frac{3}{2} + 2 C$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{3}{2} + 2 C = - 3$ .

$- \frac{3}{2} + 2 C = - 3$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Paso 1.3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.2.1

Suma $\frac{3}{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$2 C = - 3 + \frac{3}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Paso 1.3.3.2.2

Para escribir $- 3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 C = - 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Paso 1.3.3.2.3

Combina $- 3$ y $\frac{2}{2}$ .

$2 C = \frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Paso 1.3.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 C = \frac{- 3 \cdot 2 + 3}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Paso 1.3.3.2.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.2.5.1

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$2 C = \frac{- 6 + 3}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Paso 1.3.3.2.5.2

Suma $- 6$ y $3$ .

$2 C = \frac{- 3}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$2 C = \frac{- 3}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Paso 1.3.3.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 C = - \frac{3}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$2 C = - \frac{3}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Paso 1.3.3.3

Divide cada término en $2 C = - \frac{3}{2}$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.3.1

Divide cada término en $2 C = - \frac{3}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 C}{2} = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Paso 1.3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 C}{2} = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Paso 1.3.3.3.2.1.2

Divide $C$ por $1$ .

$C = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Paso 1.3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.3.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$C = - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Paso 1.3.3.3.3.2

Multiplica $- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.3.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{2}$ .

$C = - \frac{3}{2 \cdot 2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Paso 1.3.3.3.3.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$C = - \frac{3}{4}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = - \frac{3}{4}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = - \frac{3}{4}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = - \frac{3}{4}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = - \frac{3}{4}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Paso 1.3.4

Reemplaza todos los casos de $C$ por $- \frac{3}{4}$ en cada ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.4.1

Reescribe la ecuación como $1 + 2 B = 3$ .

$1 + 2 B = 3$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Paso 1.3.4.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.4.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 B = 3 - 1$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Paso 1.3.4.2.2

Resta $1$ de $3$ .

$2 B = 2$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$2 B = 2$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Paso 1.3.4.3

Divide cada término en $2 B = 2$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.4.3.1

Divide cada término en $2 B = 2$ por $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{2}{2}$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Paso 1.3.4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.4.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 B}{2} = \frac{2}{2}$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Paso 1.3.4.3.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{2}{2}$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = \frac{2}{2}$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = \frac{2}{2}$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Paso 1.3.4.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.4.3.3.1

Divide $2$ por $2$ .

$B = 1$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = 1$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = 1$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = 1$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Paso 1.3.5

Enumera todas las soluciones.

$B = 1, C = - \frac{3}{4}, A = \frac{1}{4}$

Paso 1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{2 x^{2} - 3 x + 12}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ y $C$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{1 x - \frac{3}{4}}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Paso 1.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1.1

Multiplica $\frac{1 \cdot x - \frac{3}{4}}{2 x^{2} - 3 x + 12}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{4}{4} \cdot \frac{1 \cdot x - \frac{3}{4}}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Paso 1.5.1.2

Combinar.

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{4 (1 \cdot x - \frac{3}{4})}{4 (2 x^{2} - 3 x + 12)}$

Paso 1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{4 (1 \cdot x) + 4 (- \frac{3}{4})}{4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 \cdot 12}$

Paso 1.5.3

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{4}$ al numerador.

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{4 (1 \cdot x) + 4 (\frac{- 3}{4})}{4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 \cdot 12}$

Paso 1.5.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{4 (1 \cdot x) + 4 (\frac{- 3}{4})}{4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 \cdot 12}$

Paso 1.5.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{4 (1 \cdot x) - 3}{4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 \cdot 12}$

Paso 1.5.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{4 x - 3}{4 \cdot (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 \cdot 12}$

Paso 1.5.5

Factoriza $4$ de $4 \cdot 2 x^{2} + 4 (- 3 x) + 4 \cdot 12$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.5.1

Factoriza $4$ de $4 \cdot 2 x^{2}$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{4 x - 3}{4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 \cdot 12}$

Paso 1.5.5.2

Factoriza $4$ de $4 \cdot 12$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{4 x - 3}{4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 (12)}$

Paso 1.5.5.3

Factoriza $4$ de $4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x)$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{4 x - 3}{4 (2 x^{2} - 3 x) + 4 (12)}$

Paso 1.5.5.4

Factoriza $4$ de $4 (2 x^{2} - 3 x) + 4 (12)$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{4 x - 3}{4 (2 x^{2} - 3 x + 12)}$

Paso 1.5.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x} + \frac{4 x - 3}{4 (2 x^{2} - 3 x + 12)}$

Paso 1.5.7

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\int \frac{1}{4 x} + \frac{4 x - 3}{4 (2 x^{2} - 3 x + 12)} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{1}{4 x} d x + \int \frac{4 x - 3}{4 (2 x^{2} - 3 x + 12)} d x$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{4 x - 3}{4 (2 x^{2} - 3 x + 12)} d x$

Paso 4

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) + \int \frac{4 x - 3}{4 (2 x^{2} - 3 x + 12)} d x$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{4} \int \frac{4 x - 3}{2 x^{2} - 3 x + 12} d x$

Paso 6

Sea $u = 2 x^{2} - 3 x + 12$ . Entonces $d u = (4 x - 3) d x$ , de modo que $\frac{1}{4 x - 3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Deja $u = 2 x^{2} - 3 x + 12$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1

Diferencia $2 x^{2} - 3 x + 12$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3 x + 12]$

Paso 6.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{2} - 3 x + 12$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Paso 6.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Paso 6.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Paso 6.1.3.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Paso 6.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.4.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$

Paso 6.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12]$

Paso 6.1.4.3

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$4 x - 3 + \frac{d}{d x} [12]$

Paso 6.1.5

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.5.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 x - 3 + 0$

Paso 6.1.5.2

Suma $4 x - 3$ y $0$ .

$4 x - 3$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 7

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{4} (\ln (| u |) + C)$

Paso 8

Simplifica.

$\frac{1}{4} \ln (| x |) + \frac{1}{4} \ln (| u |) + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x^{2} - 3 x + 12$ .

$\frac{1}{4} \ln (| x |) + \frac{1}{4} \ln (| 2 x^{2} - 3 x + 12 |) + C$