Cálculo Ejemplos

$\tan (x^{2} y^{4}) = 3 x + y^{2}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\tan (x^{2} y^{4})) = \frac{d}{d x} (3 x + y^{2})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = x^{2} y^{4}$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{2} y^{4}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\tan (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{2} y^{4}$ .

$\sec^{2} (x^{2} y^{4}) \frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y^{4}$ .

$\sec^{2} (x^{2} y^{4}) (x^{2} \frac{d}{d x} [y^{4}] + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$\sec^{2} (x^{2} y^{4}) (x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\sec^{2} (x^{2} y^{4}) (x^{2} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$\sec^{2} (x^{2} y^{4}) (x^{2} (4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.4

Mueve $4$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\sec^{2} (x^{2} y^{4}) (4 \cdot x^{2} y^{3} \frac{d}{d x} [y] + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.5

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\sec^{2} (x^{2} y^{4}) (4 x^{2} y^{3} y' + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\sec^{2} (x^{2} y^{4}) (4 x^{2} y^{3} y' + y^{4} (2 x))$

Paso 2.7

Mueve $2$ a la izquierda de $y^{4}$ .

$\sec^{2} (x^{2} y^{4}) (4 x^{2} y^{3} y' + 2 \cdot y^{4} x)$

Paso 2.8

Simplifica.

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Paso 2.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sec^{2} (x^{2} y^{4}) (4 x^{2} y^{3} y') + \sec^{2} (x^{2} y^{4}) (2 y^{4} x)$

Paso 2.8.2

Reordena los términos.

$4 y^{3} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) y' + 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x + y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Paso 3.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 3.2.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Paso 3.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$3 + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$3 + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 + 2 y y'$

Paso 3.4

Reordena los términos.

$2 y y' + 3$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$4 y^{3} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) y' + 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4}) = 2 y y' + 3$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Reordena los factores en $4 y^{3} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) y' + 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})$ .

$4 y^{3} x^{2} y' \sec^{2} (x^{2} y^{4}) + 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4}) = 2 y y' + 3$

Paso 5.2

Resta $2 y y'$ de ambos lados de la ecuación.

$4 y^{3} x^{2} y' \sec^{2} (x^{2} y^{4}) + 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 2 y y' = 3$

Paso 5.3

Resta $2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})$ de ambos lados de la ecuación.

$4 y^{3} x^{2} y' \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 2 y y' = 3 - 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})$

Paso 5.4

Factoriza $2 y y'$ de $4 y^{3} x^{2} y' \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 2 y y'$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $2 y y'$ de $4 y^{3} x^{2} y' \sec^{2} (x^{2} y^{4})$ .

$2 y y' (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4})) - 2 y y' = 3 - 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})$

Paso 5.4.2

Factoriza $2 y y'$ de $- 2 y y'$ .

$2 y y' (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4})) + 2 y y' \cdot - 1 = 3 - 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})$

Paso 5.4.3

Factoriza $2 y y'$ de $2 y y' (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4})) + 2 y y' \cdot - 1$ .

$2 y y' (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1) = 3 - 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})$

Paso 5.5

Divide cada término en $2 y y' (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1) = 3 - 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})$ por $2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)$ y simplifica.

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Paso 5.5.1

Divide cada término en $2 y y' (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1) = 3 - 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})$ por $2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)$ .

$\frac{2 y y' (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} + \frac{- 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

Paso 5.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.5.2.1.1

Cancela el factor común.

Paso 5.5.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y y' (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}{y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} + \frac{- 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

Paso 5.5.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.5.2.2.1

Cancela el factor común.

Paso 5.5.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}{2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1} = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} + \frac{- 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

Paso 5.5.2.3

Cancela el factor común de $2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1$ .

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Paso 5.5.2.3.1

Cancela el factor común.

Paso 5.5.2.3.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} + \frac{- 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

Paso 5.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.3.1.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 5.5.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})$ .

$y' = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} + \frac{2 (- y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4}))}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

Paso 5.5.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.5.3.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)$ .

$y' = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} + \frac{2 (- y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4}))}{2 (y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1))}$

Paso 5.5.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} + \frac{2 (- y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4}))}{2 (y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1))}$

Paso 5.5.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} + \frac{- y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})}{y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

Paso 5.5.3.1.2

Cancela el factor común de $y^{4}$ y $y$ .

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Paso 5.5.3.1.2.1

Factoriza $y$ de $- y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})$ .

$y' = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} + \frac{y (- y^{3} x \sec^{2} (x^{2} y^{4}))}{y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

Paso 5.5.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.5.3.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} + \frac{y (- y^{3} x \sec^{2} (x^{2} y^{4}))}{y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

Paso 5.5.3.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} + \frac{- y^{3} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})}{2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1}$

Paso 5.5.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} - \frac{y^{3} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})}{2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1}$

Paso 5.5.3.2

Para escribir $- \frac{y^{3} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})}{2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 y}{2 y}$ .

$y' = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} - \frac{y^{3} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})}{2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1} \cdot \frac{2 y}{2 y}$

Paso 5.5.3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.5.3.3.1

Multiplica $\frac{y^{3} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})}{2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1}$ por $\frac{2 y}{2 y}$ .

$y' = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} - \frac{y^{3} x \sec^{2} (x^{2} y^{4}) (2 y)}{(2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1) (2 y)}$

Paso 5.5.3.3.2

Reordena los factores de $(2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1) (2 y)$ .

$y' = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} - \frac{y^{3} x \sec^{2} (x^{2} y^{4}) (2 y)}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

Paso 5.5.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{3 - y^{3} x \sec^{2} (x^{2} y^{4}) (2 y)}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

Paso 5.5.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.5.3.5.1

Multiplica $y^{3}$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 5.5.3.5.1.1

Mueve $y$ .

$y' = \frac{3 - (y \cdot y^{3}) x \sec^{2} (x^{2} y^{4}) \cdot 2}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

Paso 5.5.3.5.1.2

Multiplica $y$ por $y^{3}$ .

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Paso 5.5.3.5.1.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$y' = \frac{3 - (y^{1} y^{3}) x \sec^{2} (x^{2} y^{4}) \cdot 2}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

Paso 5.5.3.5.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y' = \frac{3 - y^{1 + 3} x \sec^{2} (x^{2} y^{4}) \cdot 2}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

Paso 5.5.3.5.1.3

Suma $1$ y $3$ .

$y' = \frac{3 - y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4}) \cdot 2}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

Paso 5.5.3.5.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y' = \frac{3 - 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 - 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$