Cálculo Ejemplos

$2 x \sqrt{x}$

Paso 1

Escribe $2 x \sqrt{x}$ como una función.

$f (x) = 2 x \sqrt{x}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int 2 x \sqrt{x} d x$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 2 x \cdot x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 4.2

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 2 (x^{\frac{1}{2}} x) d x$

Paso 4.2.2

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ .

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Paso 4.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) d x$

Paso 4.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 2 x^{\frac{1}{2} + 1} d x$

Paso 4.2.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} d x$

Paso 4.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int 2 x^{\frac{1 + 2}{2}} d x$

Paso 4.2.5

Suma $1$ y $2$ .

$\int 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 5

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Reescribe $2 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$ como $2 (\frac{2}{5}) x^{\frac{5}{2}} + C$ .

$2 (\frac{2}{5}) x^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Combina $2$ y $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 7.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 8

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = 2 x \sqrt{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{4}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$