Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} (\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{{(x + 4)}^{2}}) d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{{(x + 4)}^{2}} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} d x + \int_{0}^{1} \frac{1}{{(x + 4)}^{2}} d x$

Paso 3

Sea $u_{1} = x + 1$ . Entonces $d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 3.1

Deja $u_{1} = x + 1$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 3.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 3.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 3.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 3.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{1} = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Paso 3.3

Suma $0$ y $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 3.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{1} = x + 1$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Paso 3.5

Suma $1$ y $1$ .

$u_{upper} = 2$

Paso 3.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Paso 3.7

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ , $d u_{1}$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} \frac{1}{{(x + 4)}^{2}} d x$

Paso 4

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + \int_{0}^{1} \frac{1}{{(x + 4)}^{2}} d x$

Paso 5

Sea $u_{2} = x + 4$ . Entonces $d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 5.1

Deja $u_{2} = x + 4$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Paso 5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 5.1.4

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 5.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 5.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{2} = x + 4$ .

$u_{lower} = 0 + 4$

Paso 5.3

Suma $0$ y $4$ .

$u_{lower} = 4$

Paso 5.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{2} = x + 4$ .

$u_{upper} = 1 + 4$

Paso 5.5

Suma $1$ y $4$ .

$u_{upper} = 5$

Paso 5.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 5$

Paso 5.7

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + \int_{4}^{5} \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 6

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 6.1

Mueve ${u_{2}}^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + \int_{4}^{5} {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Paso 6.2

Multiplica los exponentes en ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 6.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + \int_{4}^{5} {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Paso 6.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + \int_{4}^{5} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{- 2}$ con respecto a $u_{2}$ es $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + - {u_{2}}^{- 1}]_{4}^{5}$

Paso 8

Sustituye y simplifica.

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Paso 8.1

Evalúa $\ln (| u_{1} |)$ en $2$ y en $1$ .

$(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |) + - {u_{2}}^{- 1}]_{4}^{5}$

Paso 8.2

Evalúa $- {u_{2}}^{- 1}$ en $5$ y en $4$ .

$(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |) + (- 5^{- 1}) + 4^{- 1}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{1}{5} + 4^{- 1}$

Paso 8.3.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{1}{5} + \frac{1}{4}$

Paso 8.3.3

Para escribir $- \frac{1}{5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{1}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

Paso 8.3.4

Para escribir $\frac{1}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{1}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{5}$

Paso 8.3.5

Escribe cada expresión con un denominador común de $20$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 8.3.5.1

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{4}{5 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{5}$

Paso 8.3.5.2

Multiplica $5$ por $4$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{4}{20} + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{5}$

Paso 8.3.5.3

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{4}{20} + \frac{5}{4 \cdot 5}$

Paso 8.3.5.4

Multiplica $4$ por $5$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{4}{20} + \frac{5}{20}$

Paso 8.3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{- 4 + 5}{20}$

Paso 8.3.7

Suma $- 4$ y $5$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{1}{20}$

Paso 9

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) + \frac{1}{20}$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\ln (\frac{2}{| 1 |}) + \frac{1}{20}$

Paso 10.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\ln (\frac{2}{1}) + \frac{1}{20}$

Paso 10.3

Divide $2$ por $1$ .

$\ln (2) + \frac{1}{20}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\ln (2) + \frac{1}{20}$

Forma decimal:

$0.74314718 \dots$

Paso 12