Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} - 1}{\sin (3 x) - 3 x}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - 3 x}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{- x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - 3 x}$

Paso 1.2.2

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} - x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - 3 x}$

Paso 1.2.3

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{e^{- lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - 3 x}$

Paso 1.2.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{e^{- lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - 3 x}$

Paso 1.2.5

Simplifica los términos.

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Paso 1.2.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - 3 x}$

Paso 1.2.5.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.5.2.1.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - 3 x}$

Paso 1.2.5.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - 3 x}$

Paso 1.2.5.2.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - 3 x}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - lim_{x \to 0} 3 x}$

Paso 1.3.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 3 x) - lim_{x \to 0} 3 x}$

Paso 1.3.3

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{\sin (3 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 3 x}$

Paso 1.3.4

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{\sin (3 lim_{x \to 0} x) - 3 lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.3.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.3.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{\sin (3 \cdot 0) - 3 lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.3.5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{\sin (3 \cdot 0) - 3 \cdot 0}$

Paso 1.3.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.6.1.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{0}{\sin (0) - 3 \cdot 0}$

Paso 1.3.6.1.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{0 - 3 \cdot 0}$

Paso 1.3.6.1.3

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Paso 1.3.6.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.6.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.7

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} - 1}{\sin (3 x) - 3 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{- x} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Paso 3.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 3.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

Paso 3.3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

Paso 3.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

Paso 3.3.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

Paso 3.3.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

Paso 3.3.5

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

Paso 3.3.6

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

Paso 3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x} + 0}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

Paso 3.5

Suma $- e^{- x}$ y $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

Paso 3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $\sin (3 x) - 3 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Paso 3.7

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

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Paso 3.7.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 3.7.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Paso 3.7.1.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Paso 3.7.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Paso 3.7.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Paso 3.7.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{\cos (3 x) (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Paso 3.7.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{\cos (3 x) \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Paso 3.7.5

Mueve $3$ a la izquierda de $\cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 \cos (3 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Paso 3.8

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Paso 3.8.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 \cos (3 x) - 3 \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.8.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 \cos (3 x) - 3 \cdot 1}$

Paso 3.8.3

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 \cos (3 x) - 3}$

Paso 3.9

Reordena los términos.

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{- 3 + 3 \cos (3 x)}$

Paso 4

Since the numerator is negative and the denominator $- 3 + 3 \cos (3 x)$ approaches zero and is less than zero for $x$ near $0$ on both sides, the function increases without bound.

$\infty$