Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{2 - 15 e^{- 5 x}}{\frac{1}{x} + 4 \cos (\frac{5}{x})}$

Paso 1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 - 15 e^{- 5 x}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + 4 \cos (\frac{5}{x})}$

Paso 1.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 - lim_{x \to \infty} 15 e^{- 5 x}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + 4 \cos (\frac{5}{x})}$

Paso 1.3

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{2 - lim_{x \to \infty} 15 e^{- 5 x}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + 4 \cos (\frac{5}{x})}$

Paso 1.4

Mueve el término $15$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 - 15 lim_{x \to \infty} e^{- 5 x}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + 4 \cos (\frac{5}{x})}$

Paso 2

Como el exponente $- 5 x$ se acerca a $- \infty$ , la cantidad $e^{- 5 x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{2 - 15 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + 4 \cos (\frac{5}{x})}$

Paso 3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{2 - 15 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} 4 \cos (\frac{5}{x})}$

Paso 4

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{2 - 15 \cdot 0}{0 + lim_{x \to \infty} 4 \cos (\frac{5}{x})}$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 - 15 \cdot 0}{0 + 4 lim_{x \to \infty} \cos (\frac{5}{x})}$

Paso 5.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{2 - 15 \cdot 0}{0 + 4 \cos (lim_{x \to \infty} \frac{5}{x})}$

Paso 5.3

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 - 15 \cdot 0}{0 + 4 \cos (5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}$

Paso 6

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{2 - 15 \cdot 0}{0 + 4 \cos (5 \cdot 0)}$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Cancela el factor común de $2 - 15 \cdot 0$ y $0 + 4 \cos (5 \cdot 0)$ .

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Paso 7.1.1

Reescribe $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- 1 (- 2) - 15 \cdot 0}{0 + 4 \cos (5 \cdot 0)}$

Paso 7.1.2

Factoriza $- 1$ de $- 15 \cdot 0$ .

$\frac{- 1 (- 2) - (15 \cdot 0)}{0 + 4 \cos (5 \cdot 0)}$

Paso 7.1.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- 2) - (15 \cdot 0)$ .

$\frac{- 1 (- 2 + 15 \cdot 0)}{0 + 4 \cos (5 \cdot 0)}$

Paso 7.1.4

Reordena los términos.

$\frac{- 1 (- 2 + 0 \cdot 15)}{0 + 4 \cos (5 \cdot 0)}$

Paso 7.1.5

Factoriza $2$ de $- 1 (- 2 + 0 \cdot 15)$ .

$\frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 15))}{0 + 4 \cos (5 \cdot 0)}$

Paso 7.1.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.1.6.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$\frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 15))}{2 (0) + 4 \cos (5 \cdot 0)}$

Paso 7.1.6.2

Factoriza $2$ de $4 \cos (5 \cdot 0)$ .

$\frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 15))}{2 (0) + 2 (2 \cos (5 \cdot 0))}$

Paso 7.1.6.3

Factoriza $2$ de $2 (0) + 2 (2 \cos (5 \cdot 0))$ .

$\frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 15))}{2 (0 + 2 \cos (5 \cdot 0))}$

Paso 7.1.6.4

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 15))}{2 (0 + 2 \cos (5 \cdot 0))}$

Paso 7.1.6.5

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1 (- 1 + 0 \cdot 15)}{0 + 2 \cos (5 \cdot 0)}$

Paso 7.2

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.1

Multiplica $0$ por $15$ .

$\frac{- 1 (- 1 + 0)}{0 + 2 \cos (5 \cdot 0)}$

Paso 7.2.2

Suma $- 1$ y $0$ .

$\frac{- 1 \cdot - 1}{0 + 2 \cos (5 \cdot 0)}$

Paso 7.3

Simplifica el denominador.

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Paso 7.3.1

Multiplica $5$ por $0$ .

$\frac{- 1 \cdot - 1}{0 + 2 \cos (0)}$

Paso 7.3.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{- 1 \cdot - 1}{0 + 2 \cdot 1}$

Paso 7.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{- 1 \cdot - 1}{0 + 2}$

Paso 7.3.4

Suma $0$ y $2$ .

$\frac{- 1 \cdot - 1}{2}$

Paso 7.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2}$