Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2} - 1$ y $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.2.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.2.4

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{x (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 1) \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 1.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 1)}{x^{2}}$

Paso 1.9

Simplifica.

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Paso 1.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - - 1}{x^{2}}$

Paso 1.9.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.9.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} + 1}{x^{2}}$

Paso 1.9.2.2

Resta $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.2.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{2} (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.2.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{x^{2} (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.3

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.1

Mueve $x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.3.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 2.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{1} x^{2} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{1 + 2} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{x^{3} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.4

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$\frac{2 \cdot x^{3} - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{2 x^{3} - (x^{2} + 1) (2 x)}{x^{4}}$

Paso 2.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 (x^{2} + 1) x}{x^{4}}$

Paso 2.7

Simplifica.

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Paso 2.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} - 2 \cdot 1) x}{x^{4}}$

Paso 2.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} x - 2 \cdot 1 x}{x^{4}}$

Paso 2.7.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.7.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.7.3.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.7.3.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 \cdot 1 x}{x^{4}}$

Paso 2.7.3.1.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 2.7.3.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 \cdot 1 x}{x^{4}}$

Paso 2.7.3.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} - 2 \cdot 1 x}{x^{4}}$

Paso 2.7.3.1.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 \cdot 1 x}{x^{4}}$

Paso 2.7.3.1.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 x}{x^{4}}$

Paso 2.7.3.2

Resta $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{0 - 2 x}{x^{4}}$

Paso 2.7.3.3

Resta $2 x$ de $0$ .

$\frac{- 2 x}{x^{4}}$

Paso 2.7.4

Combina los términos.

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Paso 2.7.4.1

Cancela el factor común de $x$ y $x^{4}$ .

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Paso 2.7.4.1.1

Factoriza $x$ de $- 2 x$ .

$\frac{x \cdot - 2}{x^{4}}$

Paso 2.7.4.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.7.4.1.2.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{x \cdot - 2}{x \cdot x^{3}}$

Paso 2.7.4.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x \cdot - 2}{x \cdot x^{3}}$

Paso 2.7.4.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2}{x^{3}}$

Paso 2.7.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{3}}$

Paso 3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{2}{x^{3}}$ .

$- \frac{2}{x^{3}}$