Cálculo Ejemplos

$y = \sqrt[3]{x^{2}} (2 e^{x} - x^{2})$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x^{2}}$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x} - x^{2})]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ y $g (x) = 2 e^{x} - x^{2}$ .

$x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [2 e^{x} - x^{2}] + (2 e^{x} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 e^{x} - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$x^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 e^{x} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Paso 3.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 e^{x}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 e^{x} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Paso 4

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 e^{x} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x} - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (2 e^{x} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Paso 5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x} - (2 x)) + (2 e^{x} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Paso 5.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x} - 2 x) + (2 e^{x} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Paso 5.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x} - 2 x) + (2 e^{x} - x^{2}) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Paso 6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x} - 2 x) + (2 e^{x} - x^{2}) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Paso 7

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x} - 2 x) + (2 e^{x} - x^{2}) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x} - 2 x) + (2 e^{x} - x^{2}) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 9

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x} - 2 x) + (2 e^{x} - x^{2}) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Paso 9.2

Resta $3$ de $2$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x} - 2 x) + (2 e^{x} - x^{2}) (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Paso 10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x} - 2 x) + (2 e^{x} - x^{2}) (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Paso 11

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x} - 2 x) + (2 e^{x} - x^{2}) \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Paso 12

Mueve $x^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x} - 2 x) + (2 e^{x} - x^{2}) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) + x^{\frac{2}{3}} (- 2 x) + (2 e^{x} - x^{2}) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 13.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) + x^{\frac{2}{3}} (- 2 x) + 2 e^{x} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 13.3

Combina los términos.

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Paso 13.3.1

Multiplica $x^{\frac{2}{3}}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 13.3.1.1

Mueve $x$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) + x \cdot x^{\frac{2}{3}} \cdot - 2 + 2 e^{x} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 13.3.1.2

Multiplica $x$ por $x^{\frac{2}{3}}$ .

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Paso 13.3.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) + x^{1} x^{\frac{2}{3}} \cdot - 2 + 2 e^{x} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 13.3.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) + x^{1 + \frac{2}{3}} \cdot - 2 + 2 e^{x} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 13.3.1.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) + x^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}} \cdot - 2 + 2 e^{x} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 13.3.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) + x^{\frac{3 + 2}{3}} \cdot - 2 + 2 e^{x} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 13.3.1.5

Suma $3$ y $2$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) + x^{\frac{5}{3}} \cdot - 2 + 2 e^{x} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 13.3.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x^{\frac{5}{3}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - 2 \cdot x^{\frac{5}{3}} + 2 e^{x} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 13.3.3

Combina $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ y $2$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{2 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} e^{x} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 13.3.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}} e^{x} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 13.3.5

Combina $\frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ y $e^{x}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 13.3.6

Combina $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ y $x^{2}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 13.3.7

Mueve $x^{\frac{1}{3}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x^{2} x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Paso 13.3.8

Multiplica $x^{2}$ por $x^{- \frac{1}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 13.3.8.1

Mueve $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 (x^{- \frac{1}{3}} x^{2})}{3}$

Paso 13.3.8.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3} + 2}}{3}$

Paso 13.3.8.3

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}}}{3}$

Paso 13.3.8.4

Combina $2$ y $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}}}{3}$

Paso 13.3.8.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 3}{3}}}{3}$

Paso 13.3.8.6

Simplifica el numerador.

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Paso 13.3.8.6.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x^{\frac{- 1 + 6}{3}}}{3}$

Paso 13.3.8.6.2

Suma $- 1$ y $6$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x^{\frac{5}{3}}}{3}$

Paso 13.3.9

Para escribir $- 2 x^{\frac{5}{3}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - 2 x^{\frac{5}{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 x^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 13.3.10

Combina $- 2 x^{\frac{5}{3}}$ y $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) + \frac{- 2 x^{\frac{5}{3}} \cdot 3}{3} - \frac{2 x^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 13.3.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) + \frac{- 2 x^{\frac{5}{3}} \cdot 3 - 2 x^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 13.3.12

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) + \frac{- 6 x^{\frac{5}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 13.3.13

Resta $2 x^{\frac{5}{3}}$ de $- 6 x^{\frac{5}{3}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) + \frac{- 8 x^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 13.3.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - \frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 13.4

Reordena los términos.

$2 e^{x} x^{\frac{2}{3}} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3}$