Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} - 6 x}{6 x^{2} + 2 x}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x^{2} - 6 x}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + 2 x}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x^{2} - lim_{x \to 0} 6 x}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + 2 x}$

Paso 1.1.2.2

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 6 x}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + 2 x}$

Paso 1.1.2.3

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 6 x}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + 2 x}$

Paso 1.1.2.4

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + 2 x}$

Paso 1.1.2.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.2.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{3 \cdot 0^{2} - 6 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + 2 x}$

Paso 1.1.2.5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{3 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + 2 x}$

Paso 1.1.2.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.6.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + 2 x}$

Paso 1.1.2.6.1.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{0 - 6 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + 2 x}$

Paso 1.1.2.6.1.3

Multiplica $- 6$ por $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + 2 x}$

Paso 1.1.2.6.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + 2 x}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + lim_{x \to 0} 2 x}$

Paso 1.1.3.2

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{6 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 2 x}$

Paso 1.1.3.3

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 2 x}$

Paso 1.1.3.4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.3.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.3.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{6 \cdot 0^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.3.5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{6 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0}$

Paso 1.1.3.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.6.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{6 \cdot 0 + 2 \cdot 0}$

Paso 1.1.3.6.1.2

Multiplica $6$ por $0$ .

$\frac{0}{0 + 2 \cdot 0}$

Paso 1.1.3.6.1.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Paso 1.1.3.6.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.6.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.7

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} - 6 x}{6 x^{2} + 2 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 6 x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + 2 x]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 6 x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + 2 x]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} - 6 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + 2 x]}$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 1.3.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + 2 x]}$

Paso 1.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + 2 x]}$

Paso 1.3.3.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + \frac{d}{d x} [- 6 x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + 2 x]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Paso 1.3.4.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x - 6 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + 2 x]}$

Paso 1.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x - 6 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + 2 x]}$

Paso 1.3.4.3

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x - 6}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + 2 x]}$

Paso 1.3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x^{2} + 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x - 6}{\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]}$

Paso 1.3.6

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Paso 1.3.6.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{2}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x - 6}{6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]}$

Paso 1.3.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x - 6}{6 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x]}$

Paso 1.3.6.3

Multiplica $2$ por $6$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x - 6}{12 x + \frac{d}{d x} [2 x]}$

Paso 1.3.7

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 1.3.7.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x - 6}{12 x + 2 \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x - 6}{12 x + 2 \cdot 1}$

Paso 1.3.7.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x - 6}{12 x + 2}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $6 x - 6$ y $12 x + 2$ .

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Paso 1.4.1

Factoriza $2$ de $6 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x) - 6}{12 x + 2}$

Paso 1.4.2

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x) + 2 \cdot - 3}{12 x + 2}$

Paso 1.4.3

Factoriza $2$ de $2 (3 x) + 2 (- 3)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x - 3)}{12 x + 2}$

Paso 1.4.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.4.1

Factoriza $2$ de $12 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x - 3)}{2 (6 x) + 2}$

Paso 1.4.4.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x - 3)}{2 (6 x) + 2 (1)}$

Paso 1.4.4.3

Factoriza $2$ de $2 (6 x) + 2 (1)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x - 3)}{2 (6 x + 1)}$

Paso 1.4.4.4

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x - 3)}{2 (6 x + 1)}$

Paso 1.4.4.5

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x - 3}{6 x + 1}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x - 3}{lim_{x \to 0} 6 x + 1}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x - lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} 6 x + 1}$

Paso 2.3

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} 6 x + 1}$

Paso 2.4

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{3 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} 6 x + 1}$

Paso 2.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{3 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} 6 x + lim_{x \to 0} 1}$

Paso 2.6

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 3}{6 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}$

Paso 2.7

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{3 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 3}{6 lim_{x \to 0} x + 1}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{3 \cdot 0 - 1 \cdot 3}{6 lim_{x \to 0} x + 1}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{3 \cdot 0 - 1 \cdot 3}{6 \cdot 0 + 1}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 3}{6 \cdot 0 + 1}$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{0 - 3}{6 \cdot 0 + 1}$

Paso 4.1.3

Resta $3$ de $0$ .

$\frac{- 3}{6 \cdot 0 + 1}$

Paso 4.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.1

Multiplica $6$ por $0$ .

$\frac{- 3}{0 + 1}$

Paso 4.2.2

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{- 3}{1}$

Paso 4.3

Divide $- 3$ por $1$ .

$- 3$