Cálculo Ejemplos

$y - 2 x^{2} = x y - 5$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y - 2 x^{2}) = \frac{d}{d x} (x y - 5)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y - 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y' + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y' - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$y' - 2 (2 x)$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$y' - 4 x$

Paso 2.4

Reordena los términos.

$- 4 x + y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x y - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Paso 3.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 3.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 3.2.4

Multiplica $y$ por $1$ .

$x y' + y + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.3.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x y' + y + 0$

Paso 3.3.2

Suma $x y' + y$ y $0$ .

$x y' + y$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- 4 x + y' = x y' + y$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Resta $x y'$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 x + y' - x y' = y$

Paso 5.2

Suma $4 x$ a ambos lados de la ecuación.

$y' - x y' = y + 4 x$

Paso 5.3

Factoriza $y'$ de $y' - x y'$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $y'$ de ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - x y' = y + 4 x$

Paso 5.3.2

Factoriza $y'$ de $- x y'$ .

$y' \cdot 1 + y' (- x) = y + 4 x$

Paso 5.3.3

Factoriza $y'$ de $y' \cdot 1 + y' (- x)$ .

$y' (1 - x) = y + 4 x$

Paso 5.4

Divide cada término en $y' (1 - x) = y + 4 x$ por $1 - x$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $y' (1 - x) = y + 4 x$ por $1 - x$ .

$\frac{y' (1 - x)}{1 - x} = \frac{y}{1 - x} + \frac{4 x}{1 - x}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $1 - x$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (1 - x)}{1 - x} = \frac{y}{1 - x} + \frac{4 x}{1 - x}$

Paso 5.4.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{y}{1 - x} + \frac{4 x}{1 - x}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{y + 4 x}{1 - x}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + 4 x}{1 - x}$