Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}$

Paso 1.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Paso 1.3

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Paso 1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

Paso 1.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}$

Paso 1.5.2

Resta $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}$

Paso 1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}$

Paso 1.7

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.7.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.7.2

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Como $\frac{2}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}})$

Paso 2.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ como ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1})$

Paso 2.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3} \cdot - 1})$

Paso 2.2.2.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 1}{3}})$

Paso 2.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{1}{3}})$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1})$

Paso 2.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Paso 2.5

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 2.7

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.7.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 3}{3}})$

Paso 2.7.2

Resta $3$ de $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 4}{3}})$

Paso 2.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{4}{3}})$

Paso 2.9

Combina $x^{- \frac{4}{3}}$ y $\frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Paso 2.10

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{- \frac{4}{3}}}{3 \cdot 3}$

Paso 2.11

Multiplica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.11.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{- \frac{4}{3}}}{9}$

Paso 2.11.2

Mueve $x^{- \frac{4}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}$

Paso 4.1.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Paso 4.1.3

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Paso 4.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

Paso 4.1.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}$

Paso 4.1.5.2

Resta $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}$

Paso 4.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}$

Paso 4.1.7

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.7.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 4.1.7.2

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Paso 5.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 = 0$

Paso 5.3

Como $2 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

Paso 6.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$

Paso 6.2

Establece el denominador en $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

Paso 6.3

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.2.1

Simplifica ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$27 x^{1} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2.1.4

Simplifica.

$27 x = 0^{3}$

Paso 6.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$27 x = 0$

Paso 6.3.3

Divide cada término en $27 x = 0$ por $27$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.1

Divide cada término en $27 x = 0$ por $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Paso 6.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.2.1

Cancela el factor común de $27$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Paso 6.3.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

Paso 6.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.3.1

Divide $0$ por $27$ .

$x = 0$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 0$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$- \frac{2}{9 {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Paso 9.2

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

Cancela el factor común.

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Paso 9.2.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{4}}$

Paso 9.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{2}{9 \cdot 0}$

Paso 9.3.2

Multiplica $9$ por $0$ .

$- \frac{2}{0}$

Paso 9.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$- \frac{2}{0}$

Paso 9.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 10

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 10.2

Sustituye cualquier número, como $- 2$ , del intervalo $(- \infty, 0)$ en la primera derivada $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = \frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 10.2.2

La respuesta final es $\frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 10.3

Sustituye cualquier número, como $2$ , del intervalo $(0, \infty)$ en la primera derivada $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = \frac{2}{3 {(2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 10.3.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.2.1

Mueve ${(2)}^{\frac{1}{3}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (2) = \frac{2 \cdot 2^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Paso 10.3.2.2

Multiplica $2$ por $2^{- \frac{1}{3}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.2.2.1

Multiplica $2$ por $2^{- \frac{1}{3}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.2.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$f' (2) = \frac{2 \cdot 2^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Paso 10.3.2.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (2) = \frac{2^{1 - \frac{1}{3}}}{3}$

Paso 10.3.2.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f' (2) = \frac{2^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}}{3}$

Paso 10.3.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (2) = \frac{2^{\frac{3 - 1}{3}}}{3}$

Paso 10.3.2.2.4

Resta $1$ de $3$ .

$f' (2) = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$

Paso 10.3.2.3

La respuesta final es $\frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$

Paso 10.4

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $x = 0$ , $x = 0$ es un mínimo local.

$x = 0$ es un mínimo local

Paso 11