Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$

Paso 1

Escribe $\frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ como una función.

$f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{5} x^{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Paso 2.1.2.3

Combina $5$ y $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Paso 2.1.2.4

Combina $\frac{5}{5}$ y $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Paso 2.1.2.5

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 2.1.2.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Paso 2.1.2.5.2

Divide $x^{4}$ por $1$ .

$x^{4} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{4}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$x^{4} - \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$x^{4} - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$x^{4} - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Paso 2.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

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Paso 2.1.4.1

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{4} - 4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$x^{4} - 4 x^{3} - 12 (3 x^{2})$

Paso 2.1.4.3

Multiplica $3$ por $- 12$ .

$f' (x) = x^{4} - 4 x^{3} - 36 x^{2}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Diferencia.

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Paso 2.2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 4 x^{3} - 36 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Paso 2.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Paso 2.2.2.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Paso 2.2.2.3

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Paso 2.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.3.1

Como $- 36$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 36 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} - 36 (2 x)$

Paso 2.2.3.3

Multiplica $2$ por $- 36$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $4 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $4 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x = 0$

Paso 3.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Factoriza $4 x$ de $4 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x$ .

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Paso 3.2.1.1

Factoriza $4 x$ de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 12 x^{2} - 72 x = 0$

Paso 3.2.1.2

Factoriza $4 x$ de $- 12 x^{2}$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 3 x) - 72 x = 0$

Paso 3.2.1.3

Factoriza $4 x$ de $- 72 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 3 x) + 4 x (- 18) = 0$

Paso 3.2.1.4

Factoriza $4 x$ de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 3 x)$ .

$4 x (x^{2} - 3 x) + 4 x (- 18) = 0$

Paso 3.2.1.5

Factoriza $4 x$ de $4 x (x^{2} - 3 x) + 4 x (- 18)$ .

$4 x (x^{2} - 3 x - 18) = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza.

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Paso 3.2.2.1

Factoriza $x^{2} - 3 x - 18$ con el método AC.

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Paso 3.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 18$ y cuya suma es $- 3$ .

$- 6, 3$

Paso 3.2.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$4 x ((x - 6) (x + 3)) = 0$

Paso 3.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$4 x (x - 6) (x + 3) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 6 = 0$

$x + 3 = 0$

Paso 3.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 3.5

Establece $x - 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece $x - 6$ igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Paso 3.5.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 6$

Paso 3.6

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.6.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 3.6.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 3.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 x (x - 6) (x + 3) = 0$ verdadera.

$x = 0, 6, - 3$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $0$ en $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \frac{1}{5} \cdot {(0)}^{5} - {(0)}^{4} - 12 {(0)}^{3}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = \frac{1}{5} \cdot 0 - {(0)}^{4} - 12 {(0)}^{3}$

Paso 4.1.2.1.2

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $0$ .

$f (0) = 0 - {(0)}^{4} - 12 {(0)}^{3}$

Paso 4.1.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 - 0 - 12 {(0)}^{3}$

Paso 4.1.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 12 {(0)}^{3}$

Paso 4.1.2.1.5

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 12 \cdot 0$

Paso 4.1.2.1.6

Multiplica $- 12$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0$

Paso 4.1.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 4.1.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Paso 4.1.2.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0$

Paso 4.1.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ es $(0, 0)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, 0)$

Paso 4.3

Sustituye $6$ en $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $6$ en la expresión.

$f (6) = \frac{1}{5} \cdot {(6)}^{5} - {(6)}^{4} - 12 {(6)}^{3}$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $5$ .

$f (6) = \frac{1}{5} \cdot 7776 - {(6)}^{4} - 12 {(6)}^{3}$

Paso 4.3.2.1.2

Combina $\frac{1}{5}$ y $7776$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} - {(6)}^{4} - 12 {(6)}^{3}$

Paso 4.3.2.1.3

Eleva $6$ a la potencia de $4$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} - 1 \cdot 1296 - 12 {(6)}^{3}$

Paso 4.3.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $1296$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} - 1296 - 12 {(6)}^{3}$

Paso 4.3.2.1.5

Eleva $6$ a la potencia de $3$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} - 1296 - 12 \cdot 216$

Paso 4.3.2.1.6

Multiplica $- 12$ por $216$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} - 1296 - 2592$

Paso 4.3.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 4.3.2.2.1

Escribe $- 1296$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} + \frac{- 1296}{1} - 2592$

Paso 4.3.2.2.2

Multiplica $\frac{- 1296}{1}$ por $\frac{5}{5}$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} + \frac{- 1296}{1} \cdot \frac{5}{5} - 2592$

Paso 4.3.2.2.3

Multiplica $\frac{- 1296}{1}$ por $\frac{5}{5}$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} + \frac{- 1296 \cdot 5}{5} - 2592$

Paso 4.3.2.2.4

Escribe $- 2592$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} + \frac{- 1296 \cdot 5}{5} + \frac{- 2592}{1}$

Paso 4.3.2.2.5

Multiplica $\frac{- 2592}{1}$ por $\frac{5}{5}$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} + \frac{- 1296 \cdot 5}{5} + \frac{- 2592}{1} \cdot \frac{5}{5}$

Paso 4.3.2.2.6

Multiplica $\frac{- 2592}{1}$ por $\frac{5}{5}$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} + \frac{- 1296 \cdot 5}{5} + \frac{- 2592 \cdot 5}{5}$

Paso 4.3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (6) = \frac{7776 - 1296 \cdot 5 - 2592 \cdot 5}{5}$

Paso 4.3.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.4.1

Multiplica $- 1296$ por $5$ .

$f (6) = \frac{7776 - 6480 - 2592 \cdot 5}{5}$

Paso 4.3.2.4.2

Multiplica $- 2592$ por $5$ .

$f (6) = \frac{7776 - 6480 - 12960}{5}$

Paso 4.3.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.2.5.1

Resta $6480$ de $7776$ .

$f (6) = \frac{1296 - 12960}{5}$

Paso 4.3.2.5.2

Resta $12960$ de $1296$ .

$f (6) = \frac{- 11664}{5}$

Paso 4.3.2.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (6) = - \frac{11664}{5}$

Paso 4.3.2.6

La respuesta final es $- \frac{11664}{5}$ .

$- \frac{11664}{5}$

Paso 4.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $6$ en $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ es $(6, - \frac{11664}{5})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(6, - \frac{11664}{5})$

Paso 4.5

Sustituye $- 3$ en $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f (- 3) = \frac{1}{5} \cdot {(- 3)}^{5} - {(- 3)}^{4} - 12 {(- 3)}^{3}$

Paso 4.5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.5.2.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $5$ .

$f (- 3) = \frac{1}{5} \cdot - 243 - {(- 3)}^{4} - 12 {(- 3)}^{3}$

Paso 4.5.2.1.2

Combina $\frac{1}{5}$ y $- 243$ .

$f (- 3) = \frac{- 243}{5} - {(- 3)}^{4} - 12 {(- 3)}^{3}$

Paso 4.5.2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 3) = - \frac{243}{5} - {(- 3)}^{4} - 12 {(- 3)}^{3}$

Paso 4.5.2.1.4

Eleva $- 3$ a la potencia de $4$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} - 1 \cdot 81 - 12 {(- 3)}^{3}$

Paso 4.5.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $81$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} - 81 - 12 {(- 3)}^{3}$

Paso 4.5.2.1.6

Eleva $- 3$ a la potencia de $3$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} - 81 - 12 \cdot - 27$

Paso 4.5.2.1.7

Multiplica $- 12$ por $- 27$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} - 81 + 324$

Paso 4.5.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 4.5.2.2.1

Escribe $- 81$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{- 81}{1} + 324$

Paso 4.5.2.2.2

Multiplica $\frac{- 81}{1}$ por $\frac{5}{5}$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{- 81}{1} \cdot \frac{5}{5} + 324$

Paso 4.5.2.2.3

Multiplica $\frac{- 81}{1}$ por $\frac{5}{5}$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{- 81 \cdot 5}{5} + 324$

Paso 4.5.2.2.4

Escribe $324$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{- 81 \cdot 5}{5} + \frac{324}{1}$

Paso 4.5.2.2.5

Multiplica $\frac{324}{1}$ por $\frac{5}{5}$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{- 81 \cdot 5}{5} + \frac{324}{1} \cdot \frac{5}{5}$

Paso 4.5.2.2.6

Multiplica $\frac{324}{1}$ por $\frac{5}{5}$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{- 81 \cdot 5}{5} + \frac{324 \cdot 5}{5}$

Paso 4.5.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 3) = \frac{- 243 - 81 \cdot 5 + 324 \cdot 5}{5}$

Paso 4.5.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 4.5.2.4.1

Multiplica $- 81$ por $5$ .

$f (- 3) = \frac{- 243 - 405 + 324 \cdot 5}{5}$

Paso 4.5.2.4.2

Multiplica $324$ por $5$ .

$f (- 3) = \frac{- 243 - 405 + 1620}{5}$

Paso 4.5.2.5

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.5.2.5.1

Resta $405$ de $- 243$ .

$f (- 3) = \frac{- 648 + 1620}{5}$

Paso 4.5.2.5.2

Suma $- 648$ y $1620$ .

$f (- 3) = \frac{972}{5}$

Paso 4.5.2.6

La respuesta final es $\frac{972}{5}$ .

$\frac{972}{5}$

Paso 4.6

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 3$ en $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ es $(- 3, \frac{972}{5})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 3, \frac{972}{5})$

Paso 4.7

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(0, 0), (6, - \frac{11664}{5}), (- 3, \frac{972}{5})$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 6) \cup (6, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 3)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3.1$ en la expresión.

$f'' (- 3.1) = 4 {(- 3.1)}^{3} - 12 {(- 3.1)}^{2} - 72 \cdot - 3.1$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 3.1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 3.1) = 4 \cdot - 29.791 - 12 {(- 3.1)}^{2} - 72 \cdot - 3.1$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 29.791$ .

$f'' (- 3.1) = - 119.164 - 12 {(- 3.1)}^{2} - 72 \cdot - 3.1$

Paso 6.2.1.3

Eleva $- 3.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 3.1) = - 119.164 - 12 \cdot 9.61 - 72 \cdot - 3.1$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $- 12$ por $9.61$ .

$f'' (- 3.1) = - 119.164 - 115.32 - 72 \cdot - 3.1$

Paso 6.2.1.5

Multiplica $- 72$ por $- 3.1$ .

$f'' (- 3.1) = - 119.164 - 115.32 + 223.2$

Paso 6.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 6.2.2.1

Resta $115.32$ de $- 119.164$ .

$f'' (- 3.1) = - 234.484 + 223.2$

Paso 6.2.2.2

Suma $- 234.484$ y $223.2$ .

$f'' (- 3.1) = - 11.284$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 11.284$ .

$- 11.284$

Paso 6.3

En $- 3.1$ , la segunda derivada es $- 11.284$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, - 3)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 3)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 3, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{3}{2}$ en la expresión.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Paso 7.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}})) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Paso 7.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Paso 7.2.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (- \frac{27}{2^{3}}) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Paso 7.2.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (- \frac{27}{8}) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Paso 7.2.1.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 7.2.1.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{27}{8}$ al numerador.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{- 27}{8}) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Paso 7.2.1.5.2

Factoriza $4$ de $8$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{- 27}{4 (2)}) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Paso 7.2.1.5.3

Cancela el factor común.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{- 27}{4 \cdot 2}) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Paso 7.2.1.5.4

Reescribe la expresión.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27}{2} - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Paso 7.2.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Paso 7.2.1.7

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.7.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) - 72 (- \frac{3}{2})$

Paso 7.2.1.7.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 12 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})) - 72 (- \frac{3}{2})$

Paso 7.2.1.8

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 12 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})) - 72 (- \frac{3}{2})$

Paso 7.2.1.9

Multiplica $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 12 \frac{3^{2}}{2^{2}} - 72 (- \frac{3}{2})$

Paso 7.2.1.10

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 12 \frac{9}{2^{2}} - 72 (- \frac{3}{2})$

Paso 7.2.1.11

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 12 (\frac{9}{4}) - 72 (- \frac{3}{2})$

Paso 7.2.1.12

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 7.2.1.12.1

Factoriza $4$ de $- 12$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + 4 (- 3) (\frac{9}{4}) - 72 (- \frac{3}{2})$

Paso 7.2.1.12.2

Cancela el factor común.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + 4 \cdot (- 3 (\frac{9}{4})) - 72 (- \frac{3}{2})$

Paso 7.2.1.12.3

Reescribe la expresión.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 3 \cdot 9 - 72 (- \frac{3}{2})$

Paso 7.2.1.13

Multiplica $- 3$ por $9$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 27 - 72 (- \frac{3}{2})$

Paso 7.2.1.14

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.14.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{2}$ al numerador.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 27 - 72 (\frac{- 3}{2})$

Paso 7.2.1.14.2

Factoriza $2$ de $- 72$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 27 + 2 (- 36) (\frac{- 3}{2})$

Paso 7.2.1.14.3

Cancela el factor común.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 27 + 2 \cdot (- 36 (\frac{- 3}{2}))$

Paso 7.2.1.14.4

Reescribe la expresión.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 27 - 36 \cdot - 3$

Paso 7.2.1.15

Multiplica $- 36$ por $- 3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 27 + 108$

Paso 7.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 7.2.2.1

Escribe $- 27$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27}{1} + 108$

Paso 7.2.2.2

Multiplica $\frac{- 27}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27}{1} \cdot \frac{2}{2} + 108$

Paso 7.2.2.3

Multiplica $\frac{- 27}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + 108$

Paso 7.2.2.4

Escribe $108$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + \frac{108}{1}$

Paso 7.2.2.5

Multiplica $\frac{108}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + \frac{108}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 7.2.2.6

Multiplica $\frac{108}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + \frac{108 \cdot 2}{2}$

Paso 7.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 - 27 \cdot 2 + 108 \cdot 2}{2}$

Paso 7.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.4.1

Multiplica $- 27$ por $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 - 54 + 108 \cdot 2}{2}$

Paso 7.2.4.2

Multiplica $108$ por $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 - 54 + 216}{2}$

Paso 7.2.5

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 7.2.5.1

Resta $54$ de $- 27$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 81 + 216}{2}$

Paso 7.2.5.2

Suma $- 81$ y $216$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{135}{2}$

Paso 7.2.6

La respuesta final es $\frac{135}{2}$ .

$\frac{135}{2}$

Paso 7.3

En $- \frac{3}{2}$ , la segunda derivada es $67.5$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- 3, 0)$ .

Incremento en $(- 3, 0)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(0, 6)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f'' (3) = 4 {(3)}^{3} - 12 {(3)}^{2} - 72 \cdot 3$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f'' (3) = 4 \cdot 27 - 12 {(3)}^{2} - 72 \cdot 3$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $4$ por $27$ .

$f'' (3) = 108 - 12 {(3)}^{2} - 72 \cdot 3$

Paso 8.2.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f'' (3) = 108 - 12 \cdot 9 - 72 \cdot 3$

Paso 8.2.1.4

Multiplica $- 12$ por $9$ .

$f'' (3) = 108 - 108 - 72 \cdot 3$

Paso 8.2.1.5

Multiplica $- 72$ por $3$ .

$f'' (3) = 108 - 108 - 216$

Paso 8.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 8.2.2.1

Resta $108$ de $108$ .

$f'' (3) = 0 - 216$

Paso 8.2.2.2

Resta $216$ de $0$ .

$f'' (3) = - 216$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $- 216$ .

$- 216$

Paso 8.3

En $3$ , la segunda derivada es $- 216$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(0, 6)$ .

Decrecimiento en $(0, 6)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 9

Sustituye un valor del intervalo $(6, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $6.1$ en la expresión.

$f'' (6.1) = 4 {(6.1)}^{3} - 12 {(6.1)}^{2} - 72 \cdot 6.1$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1.1

Eleva $6.1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (6.1) = 4 \cdot 226.981 - 12 {(6.1)}^{2} - 72 \cdot 6.1$

Paso 9.2.1.2

Multiplica $4$ por $226.981$ .

$f'' (6.1) = 907.924 - 12 {(6.1)}^{2} - 72 \cdot 6.1$

Paso 9.2.1.3

Eleva $6.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (6.1) = 907.924 - 12 \cdot 37.21 - 72 \cdot 6.1$

Paso 9.2.1.4

Multiplica $- 12$ por $37.21$ .

$f'' (6.1) = 907.924 - 446.52 - 72 \cdot 6.1$

Paso 9.2.1.5

Multiplica $- 72$ por $6.1$ .

$f'' (6.1) = 907.924 - 446.52 - 439.2$

Paso 9.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.2.1

Resta $446.52$ de $907.924$ .

$f'' (6.1) = 461.404 - 439.2$

Paso 9.2.2.2

Resta $439.2$ de $461.404$ .

$f'' (6.1) = 22.204$

Paso 9.2.3

La respuesta final es $22.204$ .

$22.204$

Paso 9.3

En $6.1$ , la segunda derivada es $22.204$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(6, \infty)$ .

Incremento en $(6, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 10

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. Los puntos de inflexión en este caso son $(- 3, \frac{972}{5}), (0, 0), (6, - \frac{11664}{5})$ .

$(- 3, \frac{972}{5}), (0, 0), (6, - \frac{11664}{5})$

Paso 11