Cálculo Ejemplos

$y = \frac{4}{x^{2} - 3 x + 2}$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4}{x^{2} - 3 x + 2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 3 x + 2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 3 x + 2}]$

Paso 1.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2} - 3 x + 2}$ como ${(x^{2} - 3 x + 2)}^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 3 x + 2)}^{- 1}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2} - 3 x + 2$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 3 x + 2$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 2])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 2])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 3 x + 2$ .

$4 (- {(x^{2} - 3 x + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 2])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- 4 ({(x^{2} - 3 x + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 2])$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 3 x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- 4 {(x^{2} - 3 x + 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 4 {(x^{2} - 3 x + 2)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 3.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 {(x^{2} - 3 x + 2)}^{- 2} (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 4 {(x^{2} - 3 x + 2)}^{- 2} (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 3.6

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$- 4 {(x^{2} - 3 x + 2)}^{- 2} (2 x - 3 + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 3.7

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 4 {(x^{2} - 3 x + 2)}^{- 2} (2 x - 3 + 0)$

Paso 3.8

Suma $2 x - 3$ y $0$ .

$- 4 {(x^{2} - 3 x + 2)}^{- 2} (2 x - 3)$

Paso 4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}} (2 x - 3)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Combina los términos.

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Paso 5.1.1

Combina $- 4$ y $\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{- 4}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}} (2 x - 3)$

Paso 5.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}} (2 x - 3)$

Paso 5.2

Reordena los factores de $- \frac{4}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}} (2 x - 3)$ .

$- (2 x - 3) \frac{4}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}}$