Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{2} 2 x \sqrt{4 + x^{2}} d x$

Paso 1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int_{1}^{2} x \sqrt{4 + x^{2}} d x$

Paso 2

Sea $u = 4 + x^{2}$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 4 + x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $4 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 + x^{2}]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.1.3

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Paso 2.1.5

Suma $0$ y $2 x$ .

$2 x$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 4 + x^{2}$ .

$u_{lower} = 4 + 1^{2}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{lower} = 4 + 1$

Paso 2.3.2

Suma $4$ y $1$ .

$u_{lower} = 5$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 4 + x^{2}$ .

$u_{upper} = 4 + 2^{2}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$u_{upper} = 4 + 4$

Paso 2.5.2

Suma $4$ y $4$ .

$u_{upper} = 8$

Paso 2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = 8$

Paso 2.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$2 \int_{5}^{8} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Paso 3

Combina $\sqrt{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$2 \int_{5}^{8} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$2 (\frac{1}{2} \int_{5}^{8} \sqrt{u} d u)$

Paso 5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1

Simplifica.

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Paso 5.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2}{2} \int_{5}^{8} \sqrt{u} d u$

Paso 5.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2} \int_{5}^{8} \sqrt{u} d u$

Paso 5.1.2.2

Reescribe la expresión.

$1 \int_{5}^{8} \sqrt{u} d u$

Paso 5.1.3

Multiplica $\int_{5}^{8} \sqrt{u} d u$ por $1$ .

$\int_{5}^{8} \sqrt{u} d u$

Paso 5.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{5}^{8} u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{5}^{8}$

Paso 7

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.1

Evalúa $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ en $8$ y en $5$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $8^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Paso 7.2.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Paso 7.2.3

Multiplica los exponentes en ${(2^{3})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 7.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{3 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Paso 7.2.3.2

Multiplica $3 (\frac{3}{2})$ .

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Paso 7.2.3.2.1

Combina $3$ y $\frac{3}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{3 \cdot 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Paso 7.2.3.2.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Paso 7.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2^{1 + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Paso 7.2.5

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Paso 7.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2^{\frac{2 + 9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Paso 7.2.7

Suma $2$ y $9$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Paso 7.2.8

Combina $5^{\frac{3}{2}}$ y $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{5^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$

Paso 7.2.9

Mueve $2$ a la izquierda de $5^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

Forma decimal:

$7.63138474 \dots$

Paso 9