Cálculo Ejemplos

Halle la antiderivada (3x-2)/((x-2)^2)
Paso 1
Escribe como una función.
Paso 2
La función puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada .
Paso 3
Establece la integral para resolver.
Paso 4
Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.
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Paso 4.1
Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.
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Paso 4.1.1
Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar .
Paso 4.1.2
Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar .
Paso 4.1.3
Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es .
Paso 4.1.4
Cancela el factor común de .
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Paso 4.1.4.1
Cancela el factor común.
Paso 4.1.4.2
Divide por .
Paso 4.1.5
Simplifica cada término.
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Paso 4.1.5.1
Cancela el factor común de .
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Paso 4.1.5.1.1
Cancela el factor común.
Paso 4.1.5.1.2
Divide por .
Paso 4.1.5.2
Cancela el factor común de y .
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Paso 4.1.5.2.1
Factoriza de .
Paso 4.1.5.2.2
Cancela los factores comunes.
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Paso 4.1.5.2.2.1
Multiplica por .
Paso 4.1.5.2.2.2
Cancela el factor común.
Paso 4.1.5.2.2.3
Reescribe la expresión.
Paso 4.1.5.2.2.4
Divide por .
Paso 4.1.5.3
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 4.1.5.4
Mueve a la izquierda de .
Paso 4.1.6
Reordena y .
Paso 4.2
Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.
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Paso 4.2.1
Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.
Paso 4.2.2
Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.
Paso 4.2.3
Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.
Paso 4.3
Resuelve el sistema de ecuaciones.
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Paso 4.3.1
Reescribe la ecuación como .
Paso 4.3.2
Reemplaza todos los casos de por en cada ecuación.
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Paso 4.3.2.1
Reemplaza todos los casos de en por .
Paso 4.3.2.2
Simplifica el lado derecho.
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Paso 4.3.2.2.1
Multiplica por .
Paso 4.3.3
Resuelve en .
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Paso 4.3.3.1
Reescribe la ecuación como .
Paso 4.3.3.2
Mueve todos los términos que no contengan al lado derecho de la ecuación.
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Paso 4.3.3.2.1
Suma a ambos lados de la ecuación.
Paso 4.3.3.2.2
Suma y .
Paso 4.3.4
Resuelve el sistema de ecuaciones.
Paso 4.3.5
Enumera todas las soluciones.
Paso 4.4
Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en con los valores obtenidos para y .
Paso 4.5
Elimina el cero de la expresión.
Paso 5
Divide la única integral en varias integrales.
Paso 6
Dado que es constante con respecto a , mueve fuera de la integral.
Paso 7
Sea . Entonces . Reescribe mediante y .
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Paso 7.1
Deja . Obtén .
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Paso 7.1.1
Diferencia .
Paso 7.1.2
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 7.1.3
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 7.1.4
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 7.1.5
Suma y .
Paso 7.2
Reescribe el problema mediante y .
Paso 8
Aplica reglas básicas de exponentes.
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Paso 8.1
Mueve fuera del denominador mediante su elevación a la potencia .
Paso 8.2
Multiplica los exponentes en .
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Paso 8.2.1
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 8.2.2
Multiplica por .
Paso 9
Según la regla de la potencia, la integral de con respecto a es .
Paso 10
Dado que es constante con respecto a , mueve fuera de la integral.
Paso 11
Sea . Entonces . Reescribe mediante y .
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Paso 11.1
Deja . Obtén .
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Paso 11.1.1
Diferencia .
Paso 11.1.2
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 11.1.3
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 11.1.4
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 11.1.5
Suma y .
Paso 11.2
Reescribe el problema mediante y .
Paso 12
La integral de con respecto a es .
Paso 13
Simplifica.
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Paso 13.1
Simplifica.
Paso 13.2
Simplifica.
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Paso 13.2.1
Multiplica por .
Paso 13.2.2
Combina y .
Paso 13.2.3
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 14
Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.
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Paso 14.1
Reemplaza todos los casos de con .
Paso 14.2
Reemplaza todos los casos de con .
Paso 15
La respuesta es la antiderivada de la función .