Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 1}$ como ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 1.2

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 1.3

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.3.1

Reescribe $\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ como ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Paso 1.3.2

Multiplica los exponentes en ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 1.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Paso 1.3.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}}]$

Paso 1.3.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ y $g (x) = x + 1$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 6.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 7

Combina fracciones.

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Paso 7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 7.2

Combina ${(x + 1)}^{- \frac{3}{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{{(x + 1)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 7.3

Mueve ${(x + 1)}^{- \frac{3}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 7.4

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{2 (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 7.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 8

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 10

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}} (1 + 0)$

Paso 11

Simplifica la expresión.

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Paso 11.1

Suma $1$ y $0$ .

$- \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 1$

Paso 11.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$