Cálculo Ejemplos

$y = (2 x - 1) (3 x + 5)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((2 x - 1) (3 x + 5))$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 2 x - 1$ y $g (x) = 3 x + 5$ .

$(2 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x + 5] + (3 x + 5) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$(2 x - 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]) + (3 x + 5) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Paso 3.2.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(2 x - 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + (3 x + 5) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(2 x - 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) + (3 x + 5) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Paso 3.2.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$(2 x - 1) (3 + \frac{d}{d x} [5]) + (3 x + 5) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Paso 3.2.5

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(2 x - 1) (3 + 0) + (3 x + 5) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Paso 3.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.6.1

Suma $3$ y $0$ .

$(2 x - 1) \cdot 3 + (3 x + 5) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Paso 3.2.6.2

Mueve $3$ a la izquierda de $2 x - 1$ .

$3 \cdot (2 x - 1) + (3 x + 5) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Paso 3.2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 (2 x - 1) + (3 x + 5) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 3.2.8

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (2 x - 1) + (3 x + 5) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 3.2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 (2 x - 1) + (3 x + 5) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 3.2.10

Multiplica $2$ por $1$ .

$3 (2 x - 1) + (3 x + 5) (2 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 3.2.11

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 (2 x - 1) + (3 x + 5) (2 + 0)$

Paso 3.2.12

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.12.1

Suma $2$ y $0$ .

$3 (2 x - 1) + (3 x + 5) \cdot 2$

Paso 3.2.12.2

Mueve $2$ a la izquierda de $3 x + 5$ .

$3 (2 x - 1) + 2 \cdot (3 x + 5)$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (2 x) + 3 \cdot - 1 + 2 (3 x + 5)$

Paso 3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (2 x) + 3 \cdot - 1 + 2 (3 x) + 2 \cdot 5$

Paso 3.3.3

Combina los términos.

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Paso 3.3.3.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 x + 3 \cdot - 1 + 2 (3 x) + 2 \cdot 5$

Paso 3.3.3.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$6 x - 3 + 2 (3 x) + 2 \cdot 5$

Paso 3.3.3.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 x - 3 + 6 x + 2 \cdot 5$

Paso 3.3.3.4

Multiplica $2$ por $5$ .

$6 x - 3 + 6 x + 10$

Paso 3.3.3.5

Suma $6 x$ y $6 x$ .

$12 x - 3 + 10$

Paso 3.3.3.6

Suma $- 3$ y $10$ .

$12 x + 7$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = 12 x + 7$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 12 x + 7$