Cálculo Ejemplos

$\int \frac{{(2 x - 5)}^{2}}{\sqrt{x}} d x$

Paso 1

Aplica reglas básicas de exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{(2 x - 5)}^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Paso 1.2

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(2 x - 5)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Paso 1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(2 x - 5)}^{2} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Paso 1.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\int {(2 x - 5)}^{2} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Paso 1.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int {(2 x - 5)}^{2} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 2

Sea $u_{1} = 2 x - 5$ . Entonces $d u_{1} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Deja $u_{1} = 2 x - 5$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Diferencia $2 x - 5$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.4.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 2.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int {u_{1}}^{2} {(\frac{u_{1}}{2} + \frac{5}{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Combina $\frac{1}{2}$ y ${u_{1}}^{2}$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{2}}{2} {(\frac{u_{1}}{2} + \frac{5}{2})}^{- \frac{1}{2}} d u_{1}$

Paso 3.2

Combina $\frac{{u_{1}}^{2}}{2}$ y ${(\frac{u_{1}}{2} + \frac{5}{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{2} {(\frac{u_{1}}{2} + \frac{5}{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} d u_{1}$

Paso 3.3

Mueve ${(\frac{u_{1}}{2} + \frac{5}{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{2}}{2 {(\frac{u_{1}}{2} + \frac{5}{2})}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{1}}^{2}}{{(\frac{u_{1}}{2} + \frac{5}{2})}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$

Paso 5

Sea $u_{2} = \frac{u_{1}}{2} + \frac{5}{2}$ . Entonces $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ , de modo que $2 d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Deja $u_{2} = \frac{u_{1}}{2} + \frac{5}{2}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1

Diferencia $\frac{u_{1}}{2} + \frac{5}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2} + \frac{5}{2}]$

Paso 5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{u_{1}}{2} + \frac{5}{2}$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [\frac{5}{2}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [\frac{5}{2}]$

Paso 5.1.3

Evalúa $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.3.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $\frac{u_{1}}{2}$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [\frac{5}{2}]$

Paso 5.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [\frac{5}{2}]$

Paso 5.1.3.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{d}{d u_{1}} [\frac{5}{2}]$

Paso 5.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.4.1

Como $\frac{5}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $\frac{5}{2}$ con respecto a $u_{1}$ es $0$ .

$\frac{1}{2} + 0$

Paso 5.1.4.2

Suma $\frac{1}{2}$ y $0$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{(2 u_{2} - 5)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Paso 6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{(2 u_{2} - 5)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} (1 \cdot 2) d u_{2}$

Paso 6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{(2 u_{2} - 5)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} \cdot 2 d u_{2}$

Paso 6.3

Combina $\frac{{(2 u_{2} - 5)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}}$ y $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{(2 u_{2} - 5)}^{2} \cdot 2}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Paso 6.4

Mueve $2$ a la izquierda de ${(2 u_{2} - 5)}^{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{2 {(2 u_{2} - 5)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Paso 7

Dado que $2$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (2 \int \frac{{(2 u_{2} - 5)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2})$

Paso 8

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{{(2 u_{2} - 5)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Paso 8.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2} \int \frac{{(2 u_{2} - 5)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Paso 8.1.2.2

Reescribe la expresión.

$1 \int \frac{{(2 u_{2} - 5)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Paso 8.1.3

Multiplica $\int \frac{{(2 u_{2} - 5)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$ por $1$ .

$\int \frac{{(2 u_{2} - 5)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Paso 8.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Mueve ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(2 u_{2} - 5)}^{2} {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

Paso 8.2.2

Multiplica los exponentes en ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(2 u_{2} - 5)}^{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

Paso 8.2.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\int {(2 u_{2} - 5)}^{2} {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

Paso 8.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int {(2 u_{2} - 5)}^{2} {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Paso 9

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Reescribe ${(2 u_{2} - 5)}^{2}$ como $(2 u_{2} - 5) (2 u_{2} - 5)$ .

$\int (2 u_{2} - 5) (2 u_{2} - 5) {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Paso 9.2