Cálculo Ejemplos

$\frac{1 + x + y}{\sqrt{1 + x^{2} + y^{2}}}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 + x^{2} + y^{2}}$ como ${(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1 + x + y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 1 + x + y$ y $g (x) = {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x + y] - (1 + x + y) \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{({(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3

Multiplica los exponentes en ${({(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x + y] - (1 + x + y) \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x + y] - (1 + x + y) \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x + y] - (1 + x + y) \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{1}}$

Paso 4

Simplifica.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x + y] - (1 + x + y) \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x + y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) - (1 + x + y) \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Paso 5.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) - (1 + x + y) \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Paso 5.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) - (1 + x + y) \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Paso 5.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [y]) - (1 + x + y) \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Paso 5.5

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (1 + x + y) \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Paso 5.6

Simplifica la expresión.

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Paso 5.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (1 + x + y) \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Paso 5.6.2

Multiplica ${(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Paso 6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 1 + x^{2} + y^{2}$ .

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Paso 6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $1 + x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Paso 6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Paso 6.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $1 + x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Paso 7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Paso 8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Paso 9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Paso 10

Simplifica el numerador.

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Paso 10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Paso 10.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Paso 11

Combina fracciones.

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Paso 11.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Paso 11.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(1 + x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Paso 11.3

Mueve ${(1 + x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Paso 12

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{2} + y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]))}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Paso 13

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]))}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Paso 14

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]))}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Paso 15

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]))}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Paso 16

Como $y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0))}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Paso 17

Simplifica los términos.

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Paso 17.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x))}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Paso 17.2

Combina $2$ y $\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{2}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} x)}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Paso 17.3

Combina $\frac{2}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Paso 17.4

Cancela el factor común.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Paso 17.5

Reescribe la expresión.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) \frac{x}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Paso 18

Simplifica.

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Paso 18.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + (- 1 \cdot 1 - x - y) \frac{x}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Paso 18.2

Simplifica el numerador.

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Paso 18.2.1

Sea $u_{2} = {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ . Sustituye $u_{2}$ por todos los casos de ${(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 18.2.1.1

Multiplica $u_{2}$ por $u_{2}$ .

$\frac{\frac{{u_{2}}^{2} + (- 1 - x - y) x}{u_{2}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Paso 18.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{{u_{2}}^{2} - 1 x - x \cdot x - y x}{u_{2}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Paso 18.2.1.3

Simplifica.

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Paso 18.2.1.3.1

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{\frac{{u_{2}}^{2} - x - x \cdot x - y x}{u_{2}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Paso 18.2.1.3.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 18.2.1.3.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{\frac{{u_{2}}^{2} - x - (x \cdot x) - y x}{u_{2}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Paso 18.2.1.3.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{\frac{{u_{2}}^{2} - x - x^{2} - y x}{u_{2}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Paso 18.2.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con ${(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{{({(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} - x - x^{2} - y x}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Paso 18.2.3

Simplifica.

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Paso 18.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 18.2.3.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 18.2.3.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x - x^{2} - y x}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Paso 18.2.3.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 18.2.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x - x^{2} - y x}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Paso 18.2.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{1} - x - x^{2} - y x}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Paso 18.2.3.1.2

Simplifica.

$\frac{\frac{1 + x^{2} + y^{2} - x - x^{2} - y x}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Paso 18.2.3.2

Combina los términos opuestos en $1 + x^{2} + y^{2} - x - x^{2} - y x$ .

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Paso 18.2.3.2.1

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{\frac{1 + y^{2} - x + 0 - y x}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Paso 18.2.3.2.2

Suma $1 + y^{2} - x$ y $0$ .

$\frac{\frac{1 + y^{2} - x - y x}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Paso 18.3

Combina los términos.

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Paso 18.3.1

Reescribe $\frac{\frac{1 + y^{2} - x - y x}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$ como un producto.

$\frac{1 + y^{2} - x - y x}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Paso 18.3.2

Multiplica $\frac{1 + y^{2} - x - y x}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{1 + x^{2} + y^{2}}$ .

$\frac{1 + y^{2} - x - y x}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x^{2} + y^{2})}$

Paso 18.3.3

Multiplica ${(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1 + x^{2} + y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 18.3.3.1

Multiplica ${(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1 + x^{2} + y^{2}$ .

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Paso 18.3.3.1.1

Eleva $1 + x^{2} + y^{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 + y^{2} - x - y x}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{1}}$

Paso 18.3.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1 + y^{2} - x - y x}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Paso 18.3.3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1 + y^{2} - x - y x}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Paso 18.3.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 + y^{2} - x - y x}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Paso 18.3.3.4

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{1 + y^{2} - x - y x}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 18.4

Reordena los términos.

$\frac{y^{2} - x y - x + 1}{{(x^{2} + y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$