Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{6 e^{4 x} - 2 e^{3 x} - 4}{\sin (2 x)}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 6 e^{4 x} - 2 e^{3 x} - 4}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 6 e^{4 x} - lim_{x \to 0} 2 e^{3 x} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Paso 1.1.2.2

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{6 lim_{x \to 0} e^{4 x} - lim_{x \to 0} 2 e^{3 x} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Paso 1.1.2.3

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{6 e^{lim_{x \to 0} 4 x} - lim_{x \to 0} 2 e^{3 x} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Paso 1.1.2.4

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{6 e^{4 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 2 e^{3 x} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Paso 1.1.2.5

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{6 e^{4 lim_{x \to 0} x} - 2 lim_{x \to 0} e^{3 x} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Paso 1.1.2.6

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{6 e^{4 lim_{x \to 0} x} - 2 e^{lim_{x \to 0} 3 x} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Paso 1.1.2.7

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{6 e^{4 lim_{x \to 0} x} - 2 e^{3 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Paso 1.1.2.8

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{6 e^{4 lim_{x \to 0} x} - 2 e^{3 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Paso 1.1.2.9

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.2.9.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{6 e^{4 \cdot 0} - 2 e^{3 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Paso 1.1.2.9.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{6 e^{4 \cdot 0} - 2 e^{3 \cdot 0} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Paso 1.1.2.10

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.10.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.10.1.1

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{6 e^{0} - 2 e^{3 \cdot 0} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Paso 1.1.2.10.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{6 \cdot 1 - 2 e^{3 \cdot 0} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Paso 1.1.2.10.1.3

Multiplica $6$ por $1$ .

$\frac{6 - 2 e^{3 \cdot 0} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Paso 1.1.2.10.1.4

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{6 - 2 e^{0} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Paso 1.1.2.10.1.5

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{6 - 2 \cdot 1 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Paso 1.1.2.10.1.6

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{6 - 2 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Paso 1.1.2.10.1.7

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{6 - 2 - 4}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Paso 1.1.2.10.2

Resta $2$ de $6$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Paso 1.1.2.10.3

Resta $4$ de $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Paso 1.1.3.1.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{\sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Paso 1.1.3.3.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{6 e^{4 x} - 2 e^{3 x} - 4}{\sin (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [6 e^{4 x} - 2 e^{3 x} - 4]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [6 e^{4 x} - 2 e^{3 x} - 4]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $6 e^{4 x} - 2 e^{3 x} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [6 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 e^{4 x}]$ .

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Paso 1.3.3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 e^{4 x}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 1.3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 4 x$ .

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Paso 1.3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 1.3.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 1.3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 1.3.3.3

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 1.3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 1.3.3.5

Multiplica $4$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 (e^{4 x} \cdot 4) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 1.3.3.6

Mueve $4$ a la izquierda de $e^{4 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 (4 \cdot e^{4 x}) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 1.3.3.7

Multiplica $4$ por $6$ .

$lim_{x \to 0} \frac{24 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x}]$ .

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Paso 1.3.4.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 e^{3 x}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{24 e^{4 x} - 2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 1.3.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 1.3.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{24 e^{4 x} - 2 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 1.3.4.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{24 e^{4 x} - 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 1.3.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{24 e^{4 x} - 2 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 1.3.4.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{24 e^{4 x} - 2 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 1.3.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{24 e^{4 x} - 2 (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 1.3.4.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{24 e^{4 x} - 2 (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 1.3.4.6

Mueve $3$ a la izquierda de $e^{3 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{24 e^{4 x} - 2 (3 \cdot e^{3 x}) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 1.3.4.7

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{24 e^{4 x} - 6 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 1.3.5

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{24 e^{4 x} - 6 e^{3 x} + 0}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 1.3.6

Suma $24 e^{4 x} - 6 e^{3 x}$ y $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{24 e^{4 x} - 6 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 1.3.7

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.3.7.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{24 e^{4 x} - 6 e^{3 x}}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Paso 1.3.7.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{24 e^{4 x} - 6 e^{3 x}}{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Paso 1.3.7.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{24 e^{4 x} - 6 e^{3 x}}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Paso 1.3.8

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{24 e^{4 x} - 6 e^{3 x}}{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}$

Paso 1.3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{24 e^{4 x} - 6 e^{3 x}}{\cos (2 x) (2 \cdot 1)}$

Paso 1.3.10

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{24 e^{4 x} - 6 e^{3 x}}{\cos (2 x) \cdot 2}$

Paso 1.3.11

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{24 e^{4 x} - 6 e^{3 x}}{2 \cos (2 x)}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $24 e^{4 x} - 6 e^{3 x}$ y $2$ .

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Paso 1.4.1

Factoriza $2$ de $24 e^{4 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (12 e^{4 x}) - 6 e^{3 x}}{2 \cos (2 x)}$

Paso 1.4.2

Factoriza $2$ de $- 6 e^{3 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (12 e^{4 x}) + 2 (- 3 e^{3 x})}{2 \cos (2 x)}$

Paso 1.4.3

Factoriza $2$ de $2 (12 e^{4 x}) + 2 (- 3 e^{3 x})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (12 e^{4 x} - 3 e^{3 x})}{2 \cos (2 x)}$

Paso 1.4.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.4.1

Factoriza $2$ de $2 \cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (12 e^{4 x} - 3 e^{3 x})}{2 (\cos (2 x))}$

Paso 1.4.4.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (12 e^{4 x} - 3 e^{3 x})}{2 \cos (2 x)}$

Paso 1.4.4.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 0} \frac{12 e^{4 x} - 3 e^{3 x}}{\cos (2 x)}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 12 e^{4 x} - 3 e^{3 x}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 12 e^{4 x} - lim_{x \to 0} 3 e^{3 x}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Paso 2.3

Mueve el término $12$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{12 lim_{x \to 0} e^{4 x} - lim_{x \to 0} 3 e^{3 x}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Paso 2.4

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{12 e^{lim_{x \to 0} 4 x} - lim_{x \to 0} 3 e^{3 x}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Paso 2.5

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{12 e^{4 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 3 e^{3 x}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Paso 2.6

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{12 e^{4 lim_{x \to 0} x} - 3 lim_{x \to 0} e^{3 x}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Paso 2.7

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{12 e^{4 lim_{x \to 0} x} - 3 e^{lim_{x \to 0} 3 x}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Paso 2.8

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{12 e^{4 lim_{x \to 0} x} - 3 e^{3 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Paso 2.9

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{12 e^{4 lim_{x \to 0} x} - 3 e^{3 lim_{x \to 0} x}}{\cos (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Paso 2.10

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{12 e^{4 lim_{x \to 0} x} - 3 e^{3 lim_{x \to 0} x}}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{12 e^{4 \cdot 0} - 3 e^{3 lim_{x \to 0} x}}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{12 e^{4 \cdot 0} - 3 e^{3 \cdot 0}}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 3.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{12 e^{4 \cdot 0} - 3 e^{3 \cdot 0}}{\cos (2 \cdot 0)}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{12 e^{0} - 3 e^{3 \cdot 0}}{\cos (2 \cdot 0)}$

Paso 4.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{12 \cdot 1 - 3 e^{3 \cdot 0}}{\cos (2 \cdot 0)}$

Paso 4.1.3

Multiplica $12$ por $1$ .

$\frac{12 - 3 e^{3 \cdot 0}}{\cos (2 \cdot 0)}$

Paso 4.1.4

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{12 - 3 e^{0}}{\cos (2 \cdot 0)}$

Paso 4.1.5

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{12 - 3 \cdot 1}{\cos (2 \cdot 0)}$

Paso 4.1.6

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$\frac{12 - 3}{\cos (2 \cdot 0)}$

Paso 4.1.7

Resta $3$ de $12$ .

$\frac{9}{\cos (2 \cdot 0)}$

Paso 4.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{9}{\cos (0)}$

Paso 4.2.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{9}{1}$

Paso 4.3

Divide $9$ por $1$ .

$9$