Cálculo Ejemplos

$2^{x + 1}$

Paso 1

Escribe $2^{x + 1}$ como una función.

$f (x) = 2^{x + 1}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int 2^{x + 1} d x$

Paso 4

Sea $u = x + 1$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 4.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int 2^{u} d u$

Paso 5

La integral de $2^{u}$ con respecto a $u$ es $\frac{2^{u}}{\ln (2)}$ .

$\frac{2^{u}}{\ln (2)} + C$

Paso 6

Reescribe $\frac{2^{u}}{\ln (2)} + C$ como $\frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u} + C$ .

$\frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u} + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$\frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{x + 1} + C$

Paso 8

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = 2^{x + 1}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{x + 1} + C$