Cálculo Ejemplos

$\int \frac{2 x^{2} e^{5 x^{3} + 1}}{3 - e^{5 x^{3} + 1}} d x$

Paso 1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \frac{x^{2} e^{5 x^{3} + 1}}{3 - e^{5 x^{3} + 1}} d x$

Paso 2

Sea $u_{1} = 5 x^{3} + 1$ . Entonces $d u_{1} = 15 x^{2} d x$ , de modo que $\frac{1}{15} d u_{1} = x^{2} d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Deja $u_{1} = 5 x^{3} + 1$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Diferencia $5 x^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{3} + 1]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{3} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{3}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $3$ por $5$ .

$15 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$15 x^{2} + 0$

Paso 2.1.4.2

Suma $15 x^{2}$ y $0$ .

$15 x^{2}$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$2 \int \frac{e^{u_{1}}}{3 - e^{u_{1}}} \cdot \frac{1}{15} d u_{1}$

Paso 3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Multiplica $\frac{e^{u_{1}}}{3 - e^{u_{1}}}$ por $\frac{1}{15}$ .

$2 \int \frac{e^{u_{1}}}{(3 - e^{u_{1}}) \cdot 15} d u_{1}$

Paso 3.2

Mueve $15$ a la izquierda de $3 - e^{u_{1}}$ .

$2 \int \frac{e^{u_{1}}}{15 (3 - e^{u_{1}})} d u_{1}$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{15}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{15}$ fuera de la integral.

$2 (\frac{1}{15} \int \frac{e^{u_{1}}}{3 - e^{u_{1}}} d u_{1})$

Paso 5

Combina $\frac{1}{15}$ y $2$ .

$\frac{2}{15} \int \frac{e^{u_{1}}}{3 - e^{u_{1}}} d u_{1}$

Paso 6

Sea $u_{2} = 3 - e^{u_{1}}$ . Entonces $d u_{2} = - e^{u_{1}} d u_{1}$ , de modo que $- \frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Deja $u_{2} = 3 - e^{u_{1}}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1

Diferencia $3 - e^{u_{1}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [3 - e^{u_{1}}]$

Paso 6.1.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 - e^{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{d}{d u_{1}} [3] + \frac{d}{d u_{1}} [- e^{u_{1}}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [3] + \frac{d}{d u_{1}} [- e^{u_{1}}]$

Paso 6.1.2.2

Como $3$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $3$ con respecto a $u_{1}$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [- e^{u_{1}}]$

Paso 6.1.3

Evalúa $\frac{d}{d u_{1}} [- e^{u_{1}}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $- e^{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $- \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$ .

$0 - \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$

Paso 6.1.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$0 - e^{u_{1}}$

Paso 6.1.4

Resta $e^{u_{1}}$ de $0$ .

$- e^{u_{1}}$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{2}{15} \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2}{15} \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{2}{15} (- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Paso 9

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{2}{15} (- (\ln (| u_{2} |) + C))$

Paso 10

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Simplifica.

$\frac{2}{15} (- \ln (| u_{2} |)) + C$

Paso 10.2

Combina $\frac{2}{15}$ y $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{2 \ln (| u_{2} |)}{15} + C$

Paso 11

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 - e^{u_{1}}$ .

$- \frac{2 \ln (| 3 - e^{u_{1}} |)}{15} + C$

Paso 11.2

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $5 x^{3} + 1$ .

$- \frac{2 \ln (| 3 - e^{5 x^{3} + 1} |)}{15} + C$

Paso 12

Reordena los términos.

$- \frac{2}{15} \ln (| 3 - e^{5 x^{3} + 1} |) + C$