Cálculo Ejemplos

$- 4 + 2 y^{2} + 2 x^{2} + 5 y^{3} = 0$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (- 4 + 2 y^{2} + 2 x^{2} + 5 y^{3}) = \frac{d}{d x} (0)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 4 + 2 y^{2} + 2 x^{2} + 5 y^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{3}]$

Paso 2.1.2

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{3}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 y^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{3}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $y$ .

$0 + 2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{3}]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{3}]$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y$ .

$0 + 2 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{3}]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$0 + 2 (2 y y') + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{3}]$

Paso 2.2.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$0 + 4 y y' + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{3}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 4 y y' + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{3}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 4 y y' + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 y^{3}]$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$0 + 4 y y' + 4 x + \frac{d}{d x} [5 y^{3}]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 y^{3}]$ .

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Paso 2.4.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 y^{3}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$0 + 4 y y' + 4 x + 5 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$0 + 4 y y' + 4 x + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$0 + 4 y y' + 4 x + 5 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$0 + 4 y y' + 4 x + 5 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.4.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$0 + 4 y y' + 4 x + 5 (3 y^{2} y')$

Paso 2.4.4

Multiplica $3$ por $5$ .

$0 + 4 y y' + 4 x + 15 y^{2} y'$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Suma $0$ y $4 y y'$ .

$4 y y' + 4 x + 15 y^{2} y'$

Paso 2.5.2

Reordena los términos.

$4 y y' + 15 y^{2} y' + 4 x$

Paso 3

Como $0$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$4 y y' + 15 y^{2} y' + 4 x = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Resta $4 x$ de ambos lados de la ecuación.

$4 y y' + 15 y^{2} y' = - 4 x$

Paso 5.2

Factoriza $y y'$ de $4 y y' + 15 y^{2} y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $y y'$ de $4 y y'$ .

$y y' \cdot 4 + 15 y^{2} y' = - 4 x$

Paso 5.2.2

Factoriza $y y'$ de $15 y^{2} y'$ .

$y y' \cdot 4 + y y' (15 y) = - 4 x$

Paso 5.2.3

Factoriza $y y'$ de $y y' \cdot 4 + y y' (15 y)$ .

$y y' (4 + 15 y) = - 4 x$

Paso 5.3

Divide cada término en $y y' (4 + 15 y) = - 4 x$ por $y (4 + 15 y)$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $y y' (4 + 15 y) = - 4 x$ por $y (4 + 15 y)$ .

$\frac{y y' (4 + 15 y)}{y (4 + 15 y)} = \frac{- 4 x}{y (4 + 15 y)}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y' (4 + 15 y)}{y (4 + 15 y)} = \frac{- 4 x}{y (4 + 15 y)}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (4 + 15 y)}{4 + 15 y} = \frac{- 4 x}{y (4 + 15 y)}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $4 + 15 y$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (4 + 15 y)}{4 + 15 y} = \frac{- 4 x}{y (4 + 15 y)}$

Paso 5.3.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 4 x}{y (4 + 15 y)}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{4 x}{y (4 + 15 y)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{y (4 + 15 y)}$