Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{3}{x}$ , $[1, 7]$

Paso 1

Para obtener el valor promedio de una función, la función debe ser continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ . Para determinar si $f (x)$ es continua en $[1, 7]$ o no, obtén el dominio de $f (x) = \frac{3}{x}$ .

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Paso 1.1

Establece el denominador en $\frac{3}{x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 1.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Paso 2

$f (x)$ es continua en $[1, 7]$ .

$f (x)$ es continua

Paso 3

El valor promedio de una función $f$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Paso 4

Sustituye los valores reales en la fórmula por el valor promedio de una función.

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (\int_{1}^{7} \frac{3}{x} d x)$

Paso 5

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \int_{1}^{7} \frac{1}{x} d x)$

Paso 6

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 (\ln (| x |)]_{1}^{7}))$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Evalúa $\ln (| x |)$ en $7$ y en $1$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 (\ln (| 7 |) - \ln (| 1 |)))$

Paso 7.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \ln (\frac{| 7 |}{| 1 |}))$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $7$ es $7$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \ln (\frac{7}{| 1 |}))$

Paso 7.3.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \ln (\frac{7}{1}))$

Paso 7.3.3

Divide $7$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \ln (7))$

Paso 8

Resta $1$ de $7$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (3 \ln (7))$

Paso 9

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 9.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$A (x) = \frac{1}{3 (2)} \cdot (3 \ln (7))$

Paso 9.2

Factoriza $3$ de $3 \ln (7)$ .

$A (x) = \frac{1}{3 (2)} \cdot (3 (\ln (7)))$

Paso 9.3

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \ln (7))$

Paso 9.4

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \ln (7)$

Paso 10

Simplifica $\frac{1}{2} \cdot \ln (7)$ al mover $\frac{1}{2}$ dentro del algoritmo.

$A (x) = \ln (7^{\frac{1}{2}})$

Paso 11