Cálculo Ejemplos

$- 3 - 4 x^{3} = 2 y + x y$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (- 3 - 4 x^{3}) = \frac{d}{d x} (2 y + x y)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 3 - 4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Paso 2.1.2

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$0 - 4 (3 x^{2})$

Paso 2.2.3

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$0 - 12 x^{2}$

Paso 2.3

Resta $12 x^{2}$ de $0$ .

$- 12 x^{2}$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 y + x y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [x y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 y]$ .

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Paso 3.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 3.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y' + \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Paso 3.3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$2 y' + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y' + x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 y' + x y' + y \cdot 1$

Paso 3.3.4

Multiplica $y$ por $1$ .

$2 y' + x y' + y$

Paso 3.4

Reordena los términos.

$x y' + y + 2 y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- 12 x^{2} = x y' + y + 2 y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $x y' + y + 2 y' = - 12 x^{2}$ .

$x y' + y + 2 y' = - 12 x^{2}$

Paso 5.2

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$x y' + 2 y' = - 12 x^{2} - y$

Paso 5.3

Factoriza $y'$ de $x y' + 2 y'$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $y'$ de $x y'$ .

$y' x + 2 y' = - 12 x^{2} - y$

Paso 5.3.2

Factoriza $y'$ de $2 y'$ .

$y' x + y' \cdot 2 = - 12 x^{2} - y$

Paso 5.3.3

Factoriza $y'$ de $y' x + y' \cdot 2$ .

$y' (x + 2) = - 12 x^{2} - y$

Paso 5.4

Divide cada término en $y' (x + 2) = - 12 x^{2} - y$ por $x + 2$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $y' (x + 2) = - 12 x^{2} - y$ por $x + 2$ .

$\frac{y' (x + 2)}{x + 2} = \frac{- 12 x^{2}}{x + 2} + \frac{- y}{x + 2}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (x + 2)}{x + 2} = \frac{- 12 x^{2}}{x + 2} + \frac{- y}{x + 2}$

Paso 5.4.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 12 x^{2}}{x + 2} + \frac{- y}{x + 2}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{12 x^{2}}{x + 2} + \frac{- y}{x + 2}$

Paso 5.4.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{12 x^{2}}{x + 2} - \frac{y}{x + 2}$

Paso 5.4.3.2

Simplifica los términos.

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Paso 5.4.3.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- 12 x^{2} - y}{x + 2}$

Paso 5.4.3.2.2

Factoriza $- 1$ de $- 12 x^{2}$ .

$y' = \frac{- (12 x^{2}) - y}{x + 2}$

Paso 5.4.3.2.3

Factoriza $- 1$ de $- y$ .

$y' = \frac{- (12 x^{2}) - (y)}{x + 2}$

Paso 5.4.3.2.4

Factoriza $- 1$ de $- (12 x^{2}) - (y)$ .

$y' = \frac{- (12 x^{2} + y)}{x + 2}$

Paso 5.4.3.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.4.3.2.5.1

Reescribe $- (12 x^{2} + y)$ como $- 1 (12 x^{2} + y)$ .

$y' = \frac{- 1 (12 x^{2} + y)}{x + 2}$

Paso 5.4.3.2.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{12 x^{2} + y}{x + 2}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{12 x^{2} + y}{x + 2}$