Cálculo Ejemplos

$- 2 y = - 5 x^{2} - 4 x + 3 y^{3}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (- 2 y) = \frac{d}{d x} (- 5 x^{2} - 4 x + 3 y^{3})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 y$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 2 y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 5 x^{2} - 4 x + 3 y^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Paso 3.2.3

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$- 10 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 10 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Paso 3.3.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$- 10 x - 4 + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 y^{3}]$ .

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Paso 3.4.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 y^{3}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- 10 x - 4 + 3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$- 10 x - 4 + 3 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- 10 x - 4 + 3 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$- 10 x - 4 + 3 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.4.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 10 x - 4 + 3 (3 y^{2} y')$

Paso 3.4.4

Multiplica $3$ por $3$ .

$- 10 x - 4 + 9 y^{2} y'$

Paso 3.5

Reordena los términos.

$9 y^{2} y' - 10 x - 4$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- 2 y' = 9 y^{2} y' - 10 x - 4$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Resta $9 y^{2} y'$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 y' - 9 y^{2} y' = - 10 x - 4$

Paso 5.2

Factoriza $y'$ de $- 2 y' - 9 y^{2} y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $y'$ de $- 2 y'$ .

$y' \cdot - 2 - 9 y^{2} y' = - 10 x - 4$

Paso 5.2.2

Factoriza $y'$ de $- 9 y^{2} y'$ .

$y' \cdot - 2 + y' (- 9 y^{2}) = - 10 x - 4$

Paso 5.2.3

Factoriza $y'$ de $y' \cdot - 2 + y' (- 9 y^{2})$ .

$y' (- 2 - 9 y^{2}) = - 10 x - 4$

Paso 5.3

Divide cada término en $y' (- 2 - 9 y^{2}) = - 10 x - 4$ por $- 2 - 9 y^{2}$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $y' (- 2 - 9 y^{2}) = - 10 x - 4$ por $- 2 - 9 y^{2}$ .

$\frac{y' (- 2 - 9 y^{2})}{- 2 - 9 y^{2}} = \frac{- 10 x}{- 2 - 9 y^{2}} + \frac{- 4}{- 2 - 9 y^{2}}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $- 2 - 9 y^{2}$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (- 2 - 9 y^{2})}{- 2 - 9 y^{2}} = \frac{- 10 x}{- 2 - 9 y^{2}} + \frac{- 4}{- 2 - 9 y^{2}}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 10 x}{- 2 - 9 y^{2}} + \frac{- 4}{- 2 - 9 y^{2}}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- 10 x - 4}{- 2 - 9 y^{2}}$

Paso 5.3.3.2

Factoriza $2$ de $- 10 x - 4$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 10 x$ .

$y' = \frac{2 (- 5 x) - 4}{- 2 - 9 y^{2}}$

Paso 5.3.3.2.2

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$y' = \frac{2 (- 5 x) + 2 (- 2)}{- 2 - 9 y^{2}}$

Paso 5.3.3.2.3

Factoriza $2$ de $2 (- 5 x) + 2 (- 2)$ .

$y' = \frac{2 (- 5 x - 2)}{- 2 - 9 y^{2}}$

Paso 5.3.3.3

Factoriza $- 1$ de $- 5 x$ .

$y' = \frac{2 (- (5 x) - 2)}{- 2 - 9 y^{2}}$

Paso 5.3.3.4

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$y' = \frac{2 (- (5 x) - 1 (2))}{- 2 - 9 y^{2}}$

Paso 5.3.3.5

Factoriza $- 1$ de $- (5 x) - 1 (2)$ .

$y' = \frac{2 (- (5 x + 2))}{- 2 - 9 y^{2}}$

Paso 5.3.3.6

Reescribe $- (5 x + 2)$ como $- 1 (5 x + 2)$ .

$y' = \frac{2 (- 1 (5 x + 2))}{- 2 - 9 y^{2}}$

Paso 5.3.3.7

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$y' = \frac{2 (- 1 (5 x + 2))}{- 1 (2) - 9 y^{2}}$

Paso 5.3.3.8

Factoriza $- 1$ de $- 9 y^{2}$ .

$y' = \frac{2 (- 1 (5 x + 2))}{- 1 (2) - (9 y^{2})}$

Paso 5.3.3.9

Factoriza $- 1$ de $- 1 (2) - (9 y^{2})$ .

$y' = \frac{2 (- 1 (5 x + 2))}{- 1 (2 + 9 y^{2})}$

Paso 5.3.3.10

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 (- 1 (5 x + 2))}{- 1 (2 + 9 y^{2})}$

Paso 5.3.3.11

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{2 (5 x + 2)}{2 + 9 y^{2}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (5 x + 2)}{2 + 9 y^{2}}$