Cálculo Ejemplos

$\frac{2 x}{e^{2 x}}$

Paso 1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2 x}{e^{2 x}}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{e^{2 x}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{e^{2 x}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{2 x}$ .

$2 \frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{{(e^{2 x})}^{2}}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{2 x})}^{2}$ .

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Paso 3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{2 x \cdot 2}}$

Paso 3.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 \frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \frac{e^{2 x} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

Paso 3.3

Multiplica $e^{2 x}$ por $1$ .

$2 \frac{e^{2 x} - x \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$2 \frac{e^{2 x} - x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])}{e^{4 x}}$

Paso 4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$2 \frac{e^{2 x} - x (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])}{e^{4 x}}$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$2 \frac{e^{2 x} - x (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])}{e^{4 x}}$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{e^{2 x} - x (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))}{e^{4 x}}$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 \frac{e^{2 x} - 2 x (e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x]))}{e^{4 x}}$

Paso 5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \frac{e^{2 x} - 2 x (e^{2 x} \cdot 1)}{e^{4 x}}$

Paso 5.4

Combina fracciones.

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Paso 5.4.1

Multiplica $e^{2 x}$ por $1$ .

$2 \frac{e^{2 x} - 2 x e^{2 x}}{e^{4 x}}$

Paso 5.4.2

Combina $2$ y $\frac{e^{2 x} - 2 x e^{2 x}}{e^{4 x}}$ .

$\frac{2 (e^{2 x} - 2 x e^{2 x})}{e^{4 x}}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 e^{2 x} + 2 (- 2 x e^{2 x})}{e^{4 x}}$

Paso 6.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{2 e^{2 x} - 4 x e^{2 x}}{e^{4 x}}$

Paso 6.3

Reordena los términos.

$\frac{- 4 e^{2 x} x + 2 e^{2 x}}{e^{4 x}}$

Paso 6.4

Factoriza $2 e^{2 x}$ de $- 4 e^{2 x} x + 2 e^{2 x}$ .

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Paso 6.4.1

Factoriza $2 e^{2 x}$ de $- 4 e^{2 x} x$ .

$\frac{2 e^{2 x} (- 2 x) + 2 e^{2 x}}{e^{4 x}}$

Paso 6.4.2

Factoriza $2 e^{2 x}$ de $2 e^{2 x}$ .

$\frac{2 e^{2 x} (- 2 x) + 2 e^{2 x} (1)}{e^{4 x}}$

Paso 6.4.3

Factoriza $2 e^{2 x}$ de $2 e^{2 x} (- 2 x) + 2 e^{2 x} (1)$ .

$\frac{2 e^{2 x} (- 2 x + 1)}{e^{4 x}}$

Paso 6.5

Cancela el factor común de $e^{2 x}$ y $e^{4 x}$ .

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Paso 6.5.1

Factoriza $e^{4 x}$ de $2 e^{2 x} (- 2 x + 1)$ .

$\frac{e^{4 x} (2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1))}{e^{4 x}}$

Paso 6.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.5.2.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{e^{4 x} (2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1))}{e^{4 x} \cdot 1}$

Paso 6.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{e^{4 x} (2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1))}{e^{4 x} \cdot 1}$

Paso 6.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1)}{1}$

Paso 6.5.2.4

Divide $2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1)$ por $1$ .

$2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1)$

Paso 6.6

Aplica la propiedad distributiva.

$2 e^{- 2 x} (- 2 x) + 2 e^{- 2 x} \cdot 1$

Paso 6.7

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \cdot - 2 e^{- 2 x} x + 2 e^{- 2 x} \cdot 1$

Paso 6.8

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 \cdot - 2 e^{- 2 x} x + 2 e^{- 2 x}$

Paso 6.9

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$- 4 e^{- 2 x} x + 2 e^{- 2 x}$

Paso 6.10

Reordena los factores en $- 4 e^{- 2 x} x + 2 e^{- 2 x}$ .

$- 4 x e^{- 2 x} + 2 e^{- 2 x}$