Cálculo Ejemplos

$\sum_{i = 1}^{50} (5 i - 2) (i + 3)$

Paso 1

Simplifica la suma.

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Paso 1.1

Expande $(5 i - 2) (i + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 i (i + 3) - 2 (i + 3)$

Paso 1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$5 i \cdot i + 5 i \cdot 3 - 2 (i + 3)$

Paso 1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$5 i \cdot i + 5 i \cdot 3 - 2 i - 2 \cdot 3$

Paso 1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1

Multiplica $i$ por $i$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.1.1.1

Mueve $i$ .

$5 (i \cdot i) + 5 i \cdot 3 - 2 i - 2 \cdot 3$

Paso 1.2.1.1.2

Multiplica $i$ por $i$ .

$5 i^{2} + 5 i \cdot 3 - 2 i - 2 \cdot 3$

Paso 1.2.1.2

Multiplica $3$ por $5$ .

$5 i^{2} + 15 i - 2 i - 2 \cdot 3$

Paso 1.2.1.3

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$5 i^{2} + 15 i - 2 i - 6$

Paso 1.2.2

Resta $2 i$ de $15 i$ .

$5 i^{2} + 13 i - 6$

Paso 1.3

Reescribe la suma.

$\sum_{i = 1}^{50} 5 i^{2} + 13 i - 6$

Paso 2

Divide la suma en sumas más pequeñas de acuerdo con la reglas de suma.

$\sum_{i = 1}^{50} 5 i^{2} + 13 i - 6 = 5 \sum_{i = 1}^{50} i^{2} + 13 \sum_{i = 1}^{50} i + \sum_{i = 1}^{50} - 6$

Paso 3

Evalúa $5 \sum_{i = 1}^{50} i^{2}$ .

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Paso 3.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $2$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Paso 3.2

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(5) (\frac{50 (50 + 1) (2 \cdot 50 + 1)}{6})$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1.1

Suma $50$ y $1$ .

$5 \frac{50 \cdot 51 (2 \cdot 50 + 1)}{6}$

Paso 3.3.1.2

Combina exponentes.

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Paso 3.3.1.2.1

Multiplica $50$ por $51$ .

$5 \frac{2550 (2 \cdot 50 + 1)}{6}$

Paso 3.3.1.2.2

Multiplica $2$ por $50$ .

$5 \frac{2550 (100 + 1)}{6}$

Paso 3.3.1.3

Suma $100$ y $1$ .

$5 \frac{2550 \cdot 101}{6}$

Paso 3.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.2.1

Multiplica $2550$ por $101$ .

$5 (\frac{257550}{6})$

Paso 3.3.2.2

Divide $257550$ por $6$ .

$5 \cdot 42925$

Paso 3.3.2.3

Multiplica $5$ por $42925$ .

$214625$

Paso 4

Evalúa $13 \sum_{i = 1}^{50} i$ .

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Paso 4.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $1$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Paso 4.2

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(13) (\frac{50 (50 + 1)}{2})$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Suma $50$ y $1$ .

$13 \frac{50 \cdot 51}{2}$

Paso 4.3.2

Multiplica $50$ por $51$ .

$13 (\frac{2550}{2})$

Paso 4.3.3

Divide $2550$ por $2$ .

$13 \cdot 1275$

Paso 4.3.4

Multiplica $13$ por $1275$ .

$16575$

Paso 5

Evalúa $\sum_{i = 1}^{50} - 6$ .

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Paso 5.1

La fórmula para la suma de una constante es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Paso 5.2

Sustituye los valores en la fórmula.

$(- 6) (50)$

Paso 5.3

Multiplica $- 6$ por $50$ .

$- 300$

Paso 6

Suma los resultados de las sumas.

$214625 + 16575 - 300$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Suma $214625$ y $16575$ .

$231200 - 300$

Paso 7.2

Resta $300$ de $231200$ .

$230900$