Cálculo Ejemplos

$\int_{e}^{e^{2}} \ln (x) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (x)$ y $d v = 1$ .

$\ln (x) x]_{e}^{e^{2}} - \int_{e}^{e^{2}} x \frac{1}{x} d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$\ln (x) x]_{e}^{e^{2}} - \int_{e}^{e^{2}} \frac{x}{x} d x$

Paso 2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común.

$\ln (x) x]_{e}^{e^{2}} - \int_{e}^{e^{2}} \frac{x}{x} d x$

Paso 2.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (x) x]_{e}^{e^{2}} - \int_{e}^{e^{2}} d x$

Paso 3

Aplica la regla de la constante.

$\ln (x) x]_{e}^{e^{2}} - (x]_{e}^{e^{2}})$

Paso 4

Sustituye y simplifica.

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Paso 4.1

Evalúa $\ln (x) x$ en $e^{2}$ y en $e$ .

$(\ln (e^{2}) e^{2}) - \ln (e) e - (x]_{e}^{e^{2}})$

Paso 4.2

Evalúa $x$ en $e^{2}$ y en $e$ .

$(\ln (e^{2}) e^{2}) - \ln (e) e - ((e^{2}) - e)$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Usa las reglas de logaritmos para mover $2$ fuera del exponente.

$2 \ln (e) e^{2} - \ln (e) e - ((e^{2}) - e)$

Paso 4.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$2 \cdot 1 e^{2} - \ln (e) e - ((e^{2}) - e)$

Paso 4.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 e^{2} - \ln (e) e - (e^{2} - e)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$2 e^{2} - 1 \cdot 1 e - (e^{2} - e)$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 e^{2} - e - (e^{2} - e)$

Paso 5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 e^{2} - e - e^{2} - - e$

Paso 5.1.4

Multiplica $- - e$ .

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Paso 5.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$2 e^{2} - e - e^{2} + 1 e$

Paso 5.1.4.2

Multiplica $e$ por $1$ .

$2 e^{2} - e - e^{2} + e$

Paso 5.2

Resta $e^{2}$ de $2 e^{2}$ .

$e^{2} - e + e$

Paso 5.3

Suma $- e$ y $e$ .

$e^{2} + 0$

Paso 5.4

Suma $e^{2}$ y $0$ .

$e^{2}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$e^{2}$

Forma decimal:

$7.38905609 \dots$