Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + 4 x^{3} + 24 x^{2}$

Paso 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 1.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{4} x^{4} + 4 x^{3} + 24 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Paso 1.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Como $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{4} x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Paso 1.1.1.2.3

Combina $4$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Paso 1.1.1.2.4

Combina $\frac{4}{4}$ y $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Paso 1.1.1.2.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.1.1.2.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Paso 1.1.1.2.5.2

Divide $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Paso 1.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Paso 1.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Paso 1.1.1.3.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Paso 1.1.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.1.4.1

Como $24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $24 x^{2}$ con respecto a $x$ es $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{3} + 12 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{3} + 12 x^{2} + 24 (2 x)$

Paso 1.1.1.4.3

Multiplica $2$ por $24$ .

$f' (x) = x^{3} + 12 x^{2} + 48 x$

Paso 1.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.2.1

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 12 x^{2} + 48 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$

Paso 1.1.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$

Paso 1.1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 x^{2}$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$

Paso 1.1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [48 x]$

Paso 1.1.2.2.3

Multiplica $2$ por $12$ .

$3 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} [48 x]$

Paso 1.1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [48 x]$ .

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Paso 1.1.2.3.1

Como $48$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $48 x$ con respecto a $x$ es $48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 24 x + 48 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 x^{2} + 24 x + 48 \cdot 1$

Paso 1.1.2.3.3

Multiplica $48$ por $1$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 24 x + 48$

Paso 1.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $3 x^{2} + 24 x + 48$ .

$3 x^{2} + 24 x + 48$

Paso 1.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $3 x^{2} + 24 x + 48 = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$3 x^{2} + 24 x + 48 = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.2.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2} + 24 x + 48$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) + 24 x + 48 = 0$

Paso 1.2.2.1.2

Factoriza $3$ de $24 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (8 x) + 48 = 0$

Paso 1.2.2.1.3

Factoriza $3$ de $48$ .

$3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16 = 0$

Paso 1.2.2.1.4

Factoriza $3$ de $3 x^{2} + 3 (8 x)$ .

$3 (x^{2} + 8 x) + 3 \cdot 16 = 0$

Paso 1.2.2.1.5

Factoriza $3$ de $3 (x^{2} + 8 x) + 3 \cdot 16$ .

$3 (x^{2} + 8 x + 16) = 0$

Paso 1.2.2.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.2.2.2.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$3 (x^{2} + 8 x + 4^{2}) = 0$

Paso 1.2.2.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Paso 1.2.2.2.3

Reescribe el polinomio.

$3 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Paso 1.2.2.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$3 {(x + 4)}^{2} = 0$

Paso 1.2.3

Divide cada término en $3 {(x + 4)}^{2} = 0$ por $3$ y simplifica.

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Paso 1.2.3.1

Divide cada término en $3 {(x + 4)}^{2} = 0$ por $3$ .

$\frac{3 {(x + 4)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 {(x + 4)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Divide ${(x + 4)}^{2}$ por $1$ .

${(x + 4)}^{2} = \frac{0}{3}$

Paso 1.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.3.1

Divide $0$ por $3$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

Paso 1.2.4

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 1.2.5

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 2

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 3

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

Paso 4

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, - 4)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 6$ en la expresión.

$f'' (- 6) = 3 {(- 6)}^{2} + 24 (- 6) + 48$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 6) = 3 \cdot 36 + 24 (- 6) + 48$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $3$ por $36$ .

$f'' (- 6) = 108 + 24 (- 6) + 48$

Paso 4.2.1.3

Multiplica $24$ por $- 6$ .

$f'' (- 6) = 108 - 144 + 48$

Paso 4.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.2.1

Resta $144$ de $108$ .

$f'' (- 6) = - 36 + 48$

Paso 4.2.2.2

Suma $- 36$ y $48$ .

$f'' (- 6) = 12$

Paso 4.2.3

La respuesta final es $12$ .

$12$

Paso 4.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- \infty, - 4)$ porque $f'' (- 6)$ es positiva.

Convexo en $(- \infty, - 4)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(- 4, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = 3 {(0)}^{2} + 24 (0) + 48$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = 3 \cdot 0 + 24 (0) + 48$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 + 24 (0) + 48$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $24$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 48$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 5.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f'' (0) = 0 + 48$

Paso 5.2.2.2

Suma $0$ y $48$ .

$f'' (0) = 48$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $48$ .

$48$

Paso 5.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- 4, \infty)$ porque $f'' (0)$ es positiva.

Convexo en $(- 4, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 6

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Convexo en $(- \infty, - 4)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Convexo en $(- 4, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 7