Cálculo Ejemplos

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 1

Escribe $\frac{{(x^{2} - 1)}^{2}}{x^{2}}$ como una función.

$f (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{{(x^{2} - 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

Paso 4

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 5

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(x^{2} - 1)}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int {(x^{2} - 1)}^{2} x^{- 2} d x$

$\int {(x^{2} - 1)}^{2} x^{- 2} d x$

Paso 6

Expande ${(x^{2} - 1)}^{2} x^{- 2}$ .

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Paso 6.1

Reescribe ${(x^{2} - 1)}^{2}$ como $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ .

$\int (x^{2} - 1) (x^{2} - 1) x^{- 2} d x$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (x^{2} (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1)) x^{- 2} d x$

Paso 6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1)) x^{- 2} d x$

Paso 6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x^{- 2} d x$

Paso 6.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1) x^{- 2} + (- 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x^{- 2} d x$

Paso 6.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\int x^{2} x^{2} x^{- 2} + x^{2} \cdot - 1 x^{- 2} + (- 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x^{- 2} d x$

Paso 6.7

Aplica la propiedad distributiva.

$\int x^{2} x^{2} x^{- 2} + x^{2} \cdot - 1 x^{- 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Paso 6.8

Reordena $x^{2}$ y $- 1$ .

$\int x^{2} x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot x^{2} x^{- 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Paso 6.9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x^{2 + 2} x^{- 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Paso 6.10

Suma $2$ y $2$ .

$\int x^{4} x^{- 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Paso 6.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x^{4 - 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Paso 6.12

Resta $2$ de $4$ .

$\int x^{2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Paso 6.13

Factoriza el negativo.

$\int x^{2} - (x^{2} x^{- 2}) - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Paso 6.14

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x^{2} - x^{2 - 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Paso 6.15

Resta $2$ de $2$ .

$\int x^{2} - x^{0} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Paso 6.16

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\int x^{2} - 1 \cdot 1 - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Paso 6.17

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\int x^{2} - 1 - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Paso 6.18

Factoriza el negativo.

$\int x^{2} - 1 - (x^{2} x^{- 2}) - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Paso 6.19

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x^{2} - 1 - x^{2 - 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Paso 6.20

Resta $2$ de $2$ .

$\int x^{2} - 1 - x^{0} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Paso 6.21

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\int x^{2} - 1 - 1 \cdot 1 - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Paso 6.22

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\int x^{2} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Paso 6.23

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\int x^{2} - 1 - 1 + 1 x^{- 2} d x$

Paso 6.24

Multiplica $x^{- 2}$ por $1$ .

$\int x^{2} - 1 - 1 + x^{- 2} d x$

Paso 6.25

Resta $1$ de $- 1$ .

$\int x^{2} - 2 + x^{- 2} d x$

Paso 6.26

Reordena $- 2$ y $x^{- 2}$ .

$\int x^{2} + x^{- 2} - 2 d x$

$\int x^{2} + x^{- 2} - 2 d x$

Paso 7

Divide la única integral en varias integrales.

$\int x^{2} d x + \int x^{- 2} d x + \int - 2 d x$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int x^{- 2} d x + \int - 2 d x$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x^{- 1} + C + \int - 2 d x$

Paso 10

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x^{- 1} + C - 2 x + C$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Simplifica.

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{x} - 2 x + C$

Paso 11.2

Reordena los términos.

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{x} - 2 x + C$

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{x} - 2 x + C$

Paso 12

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2}}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{x} - 2 x + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$