Cálculo Ejemplos

$x y + y^{2} = 1$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (x y + y^{2}) = \frac{d}{d y} (1)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x y + y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d y} [x y]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = x$ y $g (y) = y$ .

$x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x \cdot 1 + y x' + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.2.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$x + y x' + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x + y x' + 2 y$

Paso 2.3.2

Reordena los términos.

$y x' + x + 2 y$

Paso 3

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y x' + x + 2 y = 0$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $x'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$y x' + 2 y = - x$

Paso 5.1.2

Resta $2 y$ de ambos lados de la ecuación.

$y x' = - x - 2 y$

Paso 5.2

Divide cada término en $y x' = - x - 2 y$ por $y$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $y x' = - x - 2 y$ por $y$ .

$\frac{y x'}{y} = \frac{- x}{y} + \frac{- 2 y}{y}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y x'}{y} = \frac{- x}{y} + \frac{- 2 y}{y}$

Paso 5.2.2.1.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{- x}{y} + \frac{- 2 y}{y}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x' = - \frac{x}{y} + \frac{- 2 y}{y}$

Paso 5.2.3.1.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.2.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$x' = - \frac{x}{y} + \frac{- 2 y}{y}$

Paso 5.2.3.1.2.2

Divide $- 2$ por $1$ .

$x' = - \frac{x}{y} - 2$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{y} - 2$