Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 \sin (θ) + 3 \sin (θ) \tan^{2} (θ)}{\sec^{2} (θ)} d θ$

Paso 1

Factoriza $3 \sin (θ)$ de $3 \sin (θ)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 \sin (θ) (1) + 3 \sin (θ) \tan^{2} (θ)}{\sec^{2} (θ)} d θ$

Paso 2

Factoriza $3 \sin (θ)$ de $3 \sin (θ) \tan^{2} (θ)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 \sin (θ) (1) + 3 \sin (θ) (\tan^{2} (θ))}{\sec^{2} (θ)} d θ$

Paso 3

Factoriza $3 \sin (θ)$ de $3 \sin (θ) (1) + 3 \sin (θ) (\tan^{2} (θ))$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 \sin (θ) (1 + \tan^{2} (θ))}{\sec^{2} (θ)} d θ$

Paso 4

Reorganiza los términos.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 \sin (θ) (\tan^{2} (θ) + 1)}{\sec^{2} (θ)} d θ$

Paso 5

Aplica la identidad pitagórica.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 \sin (θ) \sec^{2} (θ)}{\sec^{2} (θ)} d θ$

Paso 6

Cancela el factor común de $\sec^{2} (θ)$ .

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Paso 6.1

Cancela el factor común.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 \sin (θ) \sec^{2} (θ)}{\sec^{2} (θ)} d θ$

Paso 6.2

Divide $3 \sin (θ)$ por $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 3 \sin (θ) d θ$

Paso 7

Dado que $3$ es constante con respecto a $θ$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin (θ) d θ$

Paso 8

La integral de $\sin (θ)$ con respecto a $θ$ es $- \cos (θ)$ .

$3 (- \cos (θ)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Evalúa $- \cos (θ)$ en $\frac{π}{3}$ y en $0$ .

$3 (- \cos (\frac{π}{3}) + \cos (0))$

Paso 9.2

Simplifica.

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Paso 9.2.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$3 (- \frac{1}{2} + \cos (0))$

Paso 9.2.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$3 (- \frac{1}{2} + 1)$

Paso 9.2.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$3 (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Paso 9.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 \frac{- 1 + 2}{2}$

Paso 9.2.5

Suma $- 1$ y $2$ .

$3 (\frac{1}{2})$

Paso 9.2.6

Combina $3$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{3}{2}$

Forma decimal:

$1.5$

Forma de número mixto:

$1 \frac{1}{2}$