Cálculo Ejemplos

$\int x (3 x + 5) (4 x - 5) d x$

Paso 1

Sea $u = 4 x - 5$ . Entonces $d u = 4 d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 4 x - 5$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $4 x - 5$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 5]$

$4 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $4$ y $0$ .

$4$

$4$

$4$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int (\frac{u}{4} + \frac{5}{4}) (3 (\frac{u}{4} + \frac{5}{4}) + 5) u \frac{1}{4} d u$

$\int (\frac{u}{4} + \frac{5}{4}) (3 (\frac{u}{4} + \frac{5}{4}) + 5) u \frac{1}{4} d u$

Paso 2

Combina $\frac{1}{4}$ y $u$ .

$\int (\frac{u}{4} + \frac{5}{4}) (3 (\frac{u}{4} + \frac{5}{4}) + 5) \frac{u}{4} d u$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (\frac{u}{4} + \frac{5}{4}) (3 \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) + 5) \frac{u}{4} d u$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (\frac{u}{4} (3 \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) + 5) + \frac{5}{4} (3 \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) + 5)) \frac{u}{4} d u$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (\frac{u}{4} (3 \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4})) + \frac{u}{4} \cdot 5 + \frac{5}{4} (3 \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) + 5)) \frac{u}{4} d u$

Paso 3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (\frac{u}{4} (3 \frac{u}{4}) + \frac{u}{4} (3 (\frac{5}{4})) + \frac{u}{4} \cdot 5 + \frac{5}{4} (3 \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) + 5)) \frac{u}{4} d u$

Paso 3.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (\frac{u}{4} (3 \frac{u}{4}) + \frac{u}{4} (3 (\frac{5}{4})) + \frac{u}{4} \cdot 5 + \frac{5}{4} (3 \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4})) + \frac{5}{4} \cdot 5) \frac{u}{4} d u$

Paso 3.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (\frac{u}{4} (3 \frac{u}{4}) + \frac{u}{4} (3 (\frac{5}{4})) + \frac{u}{4} \cdot 5 + \frac{5}{4} (3 \frac{u}{4}) + \frac{5}{4} (3 (\frac{5}{4})) + \frac{5}{4} \cdot 5) \frac{u}{4} d u$

Paso 3.7

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (\frac{u}{4} (3 \frac{u}{4}) + \frac{u}{4} (3 (\frac{5}{4})) + \frac{u}{4} \cdot 5) \frac{u}{4} + (\frac{5}{4} (3 \frac{u}{4}) + \frac{5}{4} (3 (\frac{5}{4})) + \frac{5}{4} \cdot 5) \frac{u}{4} d u$

Paso 3.8

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (\frac{u}{4} (3 \frac{u}{4}) + \frac{u}{4} (3 (\frac{5}{4}))) \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot 5 \frac{u}{4} + (\frac{5}{4} (3 \frac{u}{4}) + \frac{5}{4} (3 (\frac{5}{4})) + \frac{5}{4} \cdot 5) \frac{u}{4} d u$

Paso 3.9

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \frac{u}{4} (3 \frac{u}{4}) \frac{u}{4} + \frac{u}{4} (3 (\frac{5}{4})) \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot 5 \frac{u}{4} + (\frac{5}{4} (3 \frac{u}{4}) + \frac{5}{4} (3 (\frac{5}{4})) + \frac{5}{4} \cdot 5) \frac{u}{4} d u$

Paso 3.10

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \frac{u}{4} (3 \frac{u}{4}) \frac{u}{4} + \frac{u}{4} (3 (\frac{5}{4})) \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot 5 \frac{u}{4} + (\frac{5}{4} (3 \frac{u}{4}) + \frac{5}{4} (3 (\frac{5}{4}))) \frac{u}{4} + \frac{5}{4} \cdot 5 \frac{u}{4} d u$

Paso 3.11

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \frac{u}{4} (3 \frac{u}{4}) \frac{u}{4} + \frac{u}{4} (3 (\frac{5}{4})) \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot 5 \frac{u}{4} + \frac{5}{4} (3 \frac{u}{4}) \frac{u}{4} + \frac{5}{4} (3 (\frac{5}{4})) \frac{u}{4} + \frac{5}{4} \cdot 5 \frac{u}{4} d u$

Paso 3.12

Reordena $\frac{u}{4}$ y $3$ .

$\int 3 \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{u}{4} (3 (\frac{5}{4})) \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot 5 \frac{u}{4} + \frac{5}{4} (3 \frac{u}{4}) \frac{u}{4} + \frac{5}{4} (3 (\frac{5}{4})) \frac{u}{4} + \frac{5}{4} \cdot 5 \frac{u}{4} d u$

Paso 3.13

Reordena $\frac{u}{4}$ y $3$ .

$\int 3 \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 \cdot \frac{u}{4} \frac{5}{4} \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot 5 \frac{u}{4} + \frac{5}{4} (3 \frac{u}{4}) \frac{u}{4} + \frac{5}{4} (3 (\frac{5}{4})) \frac{u}{4} + \frac{5}{4} \cdot 5 \frac{u}{4} d u$

Paso 3.14

Reordena $\frac{u}{4}$ y $5$ .

$\int 3 \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 \cdot \frac{u}{4} \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{5}{4} (3 \frac{u}{4}) \frac{u}{4} + \frac{5}{4} (3 (\frac{5}{4})) \frac{u}{4} + \frac{5}{4} \cdot 5 \frac{u}{4} d u$

Paso 3.15

Reordena $\frac{5}{4}$ y $3$ .

$\int 3 \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 \cdot \frac{u}{4} \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 \cdot \frac{5}{4} \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{5}{4} (3 (\frac{5}{4})) \frac{u}{4} + \frac{5}{4} \cdot 5 \frac{u}{4} d u$

Paso 3.16

Reordena $\frac{5}{4}$ y $3$ .

$\int 3 \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 \cdot \frac{u}{4} \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 \cdot \frac{5}{4} \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 \cdot \frac{5}{4} \frac{5}{4} \frac{u}{4} + \frac{5}{4} \cdot 5 \frac{u}{4} d u$

Paso 3.17

Reordena $\frac{5}{4}$ y $5$ .

$\int 3 \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 \cdot \frac{u}{4} \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 \cdot \frac{5}{4} \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 \cdot \frac{5}{4} \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 \cdot \frac{5}{4} \frac{u}{4} d u$

Paso 3.18

Combina $3$ y $\frac{u}{4}$ .

$\int \frac{3 u}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 \frac{u}{4} \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Paso 3.19

Multiplica $\frac{3 u}{4}$ por $\frac{u}{4}$ .

$\int \frac{3 u \cdot u}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + 3 \frac{u}{4} \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Paso 3.20

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{3 (u^{1} u)}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + 3 \frac{u}{4} \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Paso 3.21

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{3 (u^{1} u^{1})}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + 3 \frac{u}{4} \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Paso 3.22

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \frac{3 u^{1 + 1}}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + 3 \frac{u}{4} \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Paso 3.23

Suma $1$ y $1$ .

$\int \frac{3 u^{2}}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + 3 \frac{u}{4} \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Paso 3.24

Multiplica $4$ por $4$ .

$\int \frac{3 u^{2}}{16} \cdot \frac{u}{4} + 3 \frac{u}{4} \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Paso 3.25

Multiplica $\frac{3 u^{2}}{16}$ por $\frac{u}{4}$ .

$\int \frac{3 u^{2} u}{16 \cdot 4} + 3 \frac{u}{4} \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Paso 3.26

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{3 (u^{2} u^{1})}{16 \cdot 4} + 3 \frac{u}{4} \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Paso 3.27

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \frac{3 u^{2 + 1}}{16 \cdot 4} + 3 \frac{u}{4} \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Paso 3.28

Suma $2$ y $1$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{16 \cdot 4} + 3 \frac{u}{4} \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Paso 3.29

Multiplica $16$ por $4$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + 3 \frac{u}{4} \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Paso 3.30

Combina $3$ y $\frac{u}{4}$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u}{4} \cdot \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Paso 3.31

Multiplica $\frac{3 u}{4}$ por $\frac{5}{4}$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + 5 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Paso 3.32

Multiplica $4$ por $4$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5}{16} \cdot \frac{u}{4} + 5 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Paso 3.33

Multiplica $\frac{3 u \cdot 5}{16}$ por $\frac{u}{4}$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{16 \cdot 4} + 5 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Paso 3.34

Multiplica $16$ por $4$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + 5 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Paso 3.35

Combina $5$ y $\frac{u}{4}$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u}{4} \cdot \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Paso 3.36

Multiplica $\frac{5 u}{4}$ por $\frac{u}{4}$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u \cdot u}{4 \cdot 4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Paso 3.37

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 (u^{1} u)}{4 \cdot 4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Paso 3.38

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 (u^{1} u^{1})}{4 \cdot 4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Paso 3.39

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{1 + 1}}{4 \cdot 4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Paso 3.40

Suma $1$ y $1$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{4 \cdot 4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Paso 3.41

Multiplica $4$ por $4$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Paso 3.42

Combina $3$ y $\frac{5}{4}$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{3 \cdot 5}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Paso 3.43

Multiplica $3$ por $5$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Paso 3.44

Multiplica $\frac{15}{4}$ por $\frac{u}{4}$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Paso 3.45

Multiplica $4$ por $4$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u}{16} \cdot \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Paso 3.46

Multiplica $\frac{15 u}{16}$ por $\frac{u}{4}$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u \cdot u}{16 \cdot 4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Paso 3.47

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 (u^{1} u)}{16 \cdot 4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Paso 3.48

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 (u^{1} u^{1})}{16 \cdot 4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Paso 3.49

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{1 + 1}}{16 \cdot 4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Paso 3.50

Suma $1$ y $1$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{2}}{16 \cdot 4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Paso 3.51

Multiplica $16$ por $4$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{2}}{64} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Paso 3.52

Combina $3$ y $\frac{5}{4}$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{2}}{64} + \frac{3 \cdot 5}{4} \cdot \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Paso 3.53

Multiplica $3$ por $5$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{2}}{64} + \frac{15}{4} \cdot \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Paso 3.54

Multiplica $\frac{15}{4}$ por $\frac{5}{4}$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{2}}{64} + \frac{15 \cdot 5}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Paso 3.55

Multiplica $15$ por $5$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{2}}{64} + \frac{75}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Paso 3.56

Multiplica $4$ por $4$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{2}}{64} + \frac{75}{16} \cdot \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Paso 3.57

Multiplica $\frac{75}{16}$ por $\frac{u}{4}$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{2}}{64} + \frac{75 u}{16 \cdot 4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Paso 3.58

Multiplica $16$ por $4$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{2}}{64} + \frac{75 u}{64} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Paso 3.59

Combina $5$ y $\frac{5}{4}$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{2}}{64} + \frac{75 u}{64} + \frac{5 \cdot 5}{4} \cdot \frac{u}{4} d u$

Paso 3.60

Multiplica $5$ por $5$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{2}}{64} + \frac{75 u}{64} + \frac{25}{4} \cdot \frac{u}{4} d u$

Paso 3.61

Multiplica $\frac{25}{4}$ por $\frac{u}{4}$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{2}}{64} + \frac{75 u}{64} + \frac{25 u}{4 \cdot 4} d u$

Paso 3.62

Multiplica $4$ por $4$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{2}}{64} + \frac{75 u}{64} + \frac{25 u}{16} d u$

Paso 3.63

Para escribir $\frac{25 u}{16}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{2}}{64} + \frac{75 u}{64} + \frac{25 u}{16} \cdot \frac{4}{4} d u$

Paso 3.64

Escribe cada expresión con un denominador común de $64$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.64.1

Multiplica $\frac{25 u}{16}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{2}}{64} + \frac{75 u}{64} + \frac{25 u \cdot 4}{16 \cdot 4} d u$

Paso 3.64.2

Multiplica $16$ por $4$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{2}}{64} + \frac{75 u}{64} + \frac{25 u \cdot 4}{64} d u$

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{2}}{64} + \frac{75 u}{64} + \frac{25 u \cdot 4}{64} d u$

Paso 3.65

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{2}}{64} + \frac{75 u + 25 u \cdot 4}{64} d u$

Paso 3.66

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{2} + 75 u + 25 u \cdot 4}{64} d u$

Paso 3.67

Para escribir $\frac{5 u^{2}}{16}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} \cdot \frac{4}{4} + \frac{15 u^{2} + 75 u + 25 u \cdot 4}{64} d u$

Paso 3.68

Escribe cada expresión con un denominador común de $64$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.68.1

Multiplica $\frac{5 u^{2}}{16}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2} \cdot 4}{16 \cdot 4} + \frac{15 u^{2} + 75 u + 25 u \cdot 4}{64} d u$

Paso 3.68.2

Multiplica $16$ por $4$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2} \cdot 4}{64} + \frac{15 u^{2} + 75 u + 25 u \cdot 4}{64} d u$

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2} \cdot 4}{64} + \frac{15 u^{2} + 75 u + 25 u \cdot 4}{64} d u$

Paso 3.69

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2} \cdot 4 + 15 u^{2} + 75 u + 25 u \cdot 4}{64} d u$

Paso 3.70

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u + 5 u^{2} \cdot 4 + 15 u^{2} + 75 u + 25 u \cdot 4}{64} d u$

Paso 3.71

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int \frac{3 u^{3} + 3 u \cdot 5 u + 5 u^{2} \cdot 4 + 15 u^{2} + 75 u + 25 u \cdot 4}{64} d u$

Paso 3.72

Reordena $75 u$ y $25 u \cdot 4$ .

$\int \frac{3 u^{3} + 3 u \cdot 5 u + 5 u^{2} \cdot 4 + 15 u^{2} + 25 u \cdot 4 + 75 u}{64} d u$

Paso 3.73

Reordena $5 u^{2} \cdot 4$ y $15 u^{2}$ .

$\int \frac{3 u^{3} + 3 u \cdot 5 u + 15 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 4 + 25 u \cdot 4 + 75 u}{64} d u$

Paso 3.74

Reordena $3 u \cdot 5 u$ y $15 u^{2}$ .

$\int \frac{3 u^{3} + 15 u^{2} + 3 u \cdot 5 u + 5 u^{2} \cdot 4 + 25 u \cdot 4 + 75 u}{64} d u$

$\int \frac{3 u^{3} + 15 u^{2} + 3 u \cdot 5 u + 5 u^{2} \cdot 4 + 25 u \cdot 4 + 75 u}{64} d u$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Multiplica $5$ por $3$ .

$\int \frac{3 u^{3} + 15 u^{2} + 15 u \cdot u + 5 u^{2} \cdot 4 + 25 u \cdot 4 + 75 u}{64} d u$

Paso 4.2

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{3 u^{3} + 15 u^{2} + 15 (u^{1} u) + 5 u^{2} \cdot 4 + 25 u \cdot 4 + 75 u}{64} d u$

Paso 4.3

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{3 u^{3} + 15 u^{2} + 15 (u^{1} u^{1}) + 5 u^{2} \cdot 4 + 25 u \cdot 4 + 75 u}{64} d u$

Paso 4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \frac{3 u^{3} + 15 u^{2} + 15 u^{1 + 1} + 5 u^{2} \cdot 4 + 25 u \cdot 4 + 75 u}{64} d u$

Paso 4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\int \frac{3 u^{3} + 15 u^{2} + 15 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 4 + 25 u \cdot 4 + 75 u}{64} d u$

Paso 4.6

Suma $15 u^{2}$ y $15 u^{2}$ .

$\int \frac{3 u^{3} + 30 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 4 + 25 u \cdot 4 + 75 u}{64} d u$

Paso 4.7

Multiplica $4$ por $5$ .

$\int \frac{3 u^{3} + 30 u^{2} + 20 u^{2} + 25 u \cdot 4 + 75 u}{64} d u$

Paso 4.8

Suma $30 u^{2}$ y $20 u^{2}$ .

$\int \frac{3 u^{3} + 50 u^{2} + 25 u \cdot 4 + 75 u}{64} d u$

Paso 4.9

Multiplica $4$ por $25$ .

$\int \frac{3 u^{3} + 50 u^{2} + 100 u + 75 u}{64} d u$

Paso 4.10

Suma $100 u$ y $75 u$ .

$\int \frac{3 u^{3} + 50 u^{2} + 175 u}{64} d u$

$\int \frac{3 u^{3} + 50 u^{2} + 175 u}{64} d u$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{64}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{64}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{64} \int 3 u^{3} + 50 u^{2} + 175 u d u$

Paso 6

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{64} (\int 3 u^{3} d u + \int 50 u^{2} d u + \int 175 u d u)$

Paso 7

Dado que $3$ es constante con respecto a $u$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$\frac{1}{64} (3 \int u^{3} d u + \int 50 u^{2} d u + \int 175 u d u)$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{3}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{64} (3 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int 50 u^{2} d u + \int 175 u d u)$

Paso 9

Dado que $50$ es constante con respecto a $u$ , mueve $50$ fuera de la integral.

$\frac{1}{64} (3 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 50 \int u^{2} d u + \int 175 u d u)$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{64} (3 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 50 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int 175 u d u)$

Paso 11

Dado que $175$ es constante con respecto a $u$ , mueve $175$ fuera de la integral.

$\frac{1}{64} (3 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 50 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 175 \int u d u)$

Paso 12

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{64} (3 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 50 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 175 (\frac{1}{2} u^{2} + C))$

Paso 13

Simplifica.

$\frac{1}{64} (\frac{3 u^{4}}{4} + \frac{50 u^{3}}{3} + \frac{175 u^{2}}{2}) + C$

Paso 14

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x - 5$ .

$\frac{1}{64} (\frac{3 {(4 x - 5)}^{4}}{4} + \frac{50 {(4 x - 5)}^{3}}{3} + \frac{175 {(4 x - 5)}^{2}}{2}) + C$

Paso 15

Reordena los términos.

$\frac{1}{64} (\frac{3}{4} {(4 x - 5)}^{4} + \frac{50}{3} {(4 x - 5)}^{3} + \frac{175}{2} {(4 x - 5)}^{2}) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$