Cálculo Ejemplos

$\int \frac{2}{\sqrt[3]{3 x}} d x$

Paso 1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \frac{1}{\sqrt[3]{3 x}} d x$

Paso 2

Sea $u = 3 x$ . Entonces $d u = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 3 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 2.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 2.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt[3]{u}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u} \cdot 3} d u$

Paso 3.2

Mueve $3$ a la izquierda de $\sqrt[3]{u}$ .

$2 \int \frac{1}{3 \sqrt[3]{u}} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$2 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u)$

Paso 5

Combina fracciones.

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Paso 5.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $2$ .

$\frac{2}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Paso 5.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 5.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{u}$ como $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Paso 5.2.2

Mueve $u^{\frac{1}{3}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{2}{3} \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Paso 5.2.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 5.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Paso 5.2.3.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 1$ .

$\frac{2}{3} \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Paso 5.2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2}{3} \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{3}}$ con respecto a $u$ es $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Reescribe $\frac{2}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$ como $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{3}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Paso 7.2.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{6}{3 \cdot 2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Paso 7.2.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6}{6} u^{\frac{2}{3}} + C$

Paso 7.2.4

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 7.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{6}{6} u^{\frac{2}{3}} + C$

Paso 7.2.4.2

Reescribe la expresión.

$1 u^{\frac{2}{3}} + C$

Paso 7.2.5

Multiplica $u^{\frac{2}{3}}$ por $1$ .

$u^{\frac{2}{3}} + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

${(3 x)}^{\frac{2}{3}} + C$