Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 4} \frac{x^{3} \sqrt{x} - 128}{x - 4}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 4} x^{3} \sqrt{x} - 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} x^{3} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Paso 1.1.2.2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} x^{3} \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Paso 1.1.2.3

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{3} \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Paso 1.1.2.4

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{3} \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x} - lim_{x \to 4} 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Paso 1.1.2.5

Evalúa el límite de $128$ que es constante cuando $x$ se acerca a $4$ .

$\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{3} \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Paso 1.1.2.6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $4$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.2.6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $4$ para $x$ .

$\frac{4^{3} \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Paso 1.1.2.6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $4$ para $x$ .

$\frac{4^{3} \cdot \sqrt{4} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Paso 1.1.2.7

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.7.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$\frac{64 \cdot \sqrt{4} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Paso 1.1.2.7.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{64 \cdot \sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Paso 1.1.2.7.1.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{64 \cdot 2 - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Paso 1.1.2.7.1.4

Multiplica $64$ por $2$ .

$\frac{128 - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Paso 1.1.2.7.1.5

Multiplica $- 1$ por $128$ .

$\frac{128 - 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Paso 1.1.2.7.2

Resta $128$ de $128$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4}$

Paso 1.1.3.1.2

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $4$ para $x$ .

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $4$ de $4$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 4} \frac{x^{3} \sqrt{x} - 128}{x - 4} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} \sqrt{x} - 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} \sqrt{x} - 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} \sqrt{x} - 128$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3} \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 128]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{3} \sqrt{x}]$ .

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Paso 1.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Paso 1.3.3.2

Multiplica $x^{3}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.3.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3 + \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Paso 1.3.3.2.2

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Paso 1.3.3.2.3

Combina $3$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Paso 1.3.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3 \cdot 2 + 1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Paso 1.3.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.3.2.5.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{6 + 1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Paso 1.3.3.2.5.2

Suma $6$ y $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Paso 1.3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{7}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Paso 1.3.3.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Paso 1.3.3.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Paso 1.3.3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Paso 1.3.3.7

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.3.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Paso 1.3.3.7.2

Resta $2$ de $7$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}} + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Paso 1.3.4

Como $- 128$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 128$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Paso 1.3.5

Simplifica.

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Paso 1.3.5.1

Suma $\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}}$ y $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}}}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Paso 1.3.5.2

Combina $\frac{7}{2}$ y $x^{\frac{5}{2}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Paso 1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Paso 1.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}}{1 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Paso 1.3.8

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}}{1 + 0}$

Paso 1.3.9

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}}{1}$

Paso 1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 4} \frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2} \cdot 1$

Paso 1.5

Multiplica $\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$ por $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $\frac{7}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{7}{2} lim_{x \to 4} x^{\frac{5}{2}}$

Paso 2.2

Mueve el exponente $\frac{5}{2}$ de $x^{\frac{5}{2}}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{7}{2} {(lim_{x \to 4} x)}^{\frac{5}{2}}$

Paso 3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $4$ para $x$ .

$\frac{7}{2} \cdot 4^{\frac{5}{2}}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{7}{2} \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}}$

Paso 4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7}{2} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{7}{2} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}$

Paso 4.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{7}{2} \cdot 2^{5}$

Paso 4.4

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$\frac{7}{2} \cdot 32$

Paso 4.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.5.1

Factoriza $2$ de $32$ .

$\frac{7}{2} \cdot (2 (16))$

Paso 4.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{7}{2} \cdot (2 \cdot 16)$

Paso 4.5.3

Reescribe la expresión.

$7 \cdot 16$

Paso 4.6

Multiplica $7$ por $16$ .

$112$