Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} {(\frac{3 x}{3 x + 1})}^{x}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 1.1

Reescribe ${(\frac{3 x}{3 x + 1})}^{x}$ como $e^{\ln ({(\frac{3 x}{3 x + 1})}^{x})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\frac{3 x}{3 x + 1})}^{x})}$

Paso 1.2

Expande $\ln ({(\frac{3 x}{3 x + 1})}^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$lim_{x \to \infty} e^{x \ln (\frac{3 x}{3 x + 1})}$

Paso 2

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{lim_{x \to \infty} x \ln (\frac{3 x}{3 x + 1})}$

Paso 3

Reescribe $x \ln (\frac{3 x}{3 x + 1})$ como $\frac{\ln (\frac{3 x}{3 x + 1})}{\frac{1}{x}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{3 x}{3 x + 1})}{\frac{1}{x}}}$

Paso 4

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 4.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 4.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\frac{3 x}{3 x + 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 4.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 4.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 4.1.2.1.1

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{3 x}{3 x + 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 4.1.2.1.2

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{\frac{\ln (3 lim_{x \to \infty} \frac{x}{3 x + 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 4.1.2.2

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x$ .

$e^{\frac{\ln (3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 4.1.2.3

Evalúa el límite.

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Paso 4.1.2.3.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.1.2.3.1.1

Cancela el factor común.

$e^{\frac{\ln (3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 4.1.2.3.1.2

Reescribe la expresión.

$e^{\frac{\ln (3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 4.1.2.3.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.1.2.3.2.1

Cancela el factor común.

$e^{\frac{\ln (3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 4.1.2.3.2.2

Divide $3$ por $1$ .

$e^{\frac{\ln (3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{3 + \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 4.1.2.3.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (3 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 4.1.2.3.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (3 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 4.1.2.3.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (3 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 4.1.2.3.6

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (3 \frac{1}{3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 4.1.2.4

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$e^{\frac{\ln (3 \frac{1}{3 + 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 4.1.2.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1.2.5.1

Suma $3$ y $0$ .

$e^{\frac{\ln (3 (\frac{1}{3}))}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 4.1.2.5.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.1.2.5.2.1

Cancela el factor común.

$e^{\frac{\ln (3 (\frac{1}{3}))}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 4.1.2.5.2.2

Reescribe la expresión.

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 4.1.2.5.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 4.1.3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Paso 4.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$e^{\frac{0}{0}}$

Paso 4.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{3 x}{3 x + 1})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{3 x}{3 x + 1})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 4.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 4.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{3 x}{3 x + 1})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \frac{3 x}{3 x + 1}$ .

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Paso 4.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{3 x}{3 x + 1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{3 x}{3 x + 1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\frac{3 x}{3 x + 1}} \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{3 x}{3 x + 1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1 \frac{3 x + 1}{3 x} \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.4

Multiplica $\frac{3 x + 1}{3 x}$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{3 x} \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.5

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3 x}{3 x + 1}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x + 1}]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{3 x} \cdot 3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.6

Combina $3$ y $\frac{3 x + 1}{3 x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 (3 x + 1)}{3 x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.7

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.3.7.1

Cancela el factor común.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 (3 x + 1)}{3 x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.7.2

Reescribe la expresión.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.8

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 3 x + 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{(3 x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{(3 x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.10

Multiplica $3 x + 1$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x + 1 - x \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.11

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x + 1 - x (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.12

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x + 1 - x (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x + 1 - x (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.14

Multiplica $3$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x + 1 - x (3 + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.15

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x + 1 - x (3 + 0)}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.16

Suma $3$ y $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x + 1 - x \cdot 3}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.17

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x + 1 - 3 x}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.18

Resta $3 x$ de $3 x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{0 + 1}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.19

Suma $0$ y $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{1}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.20

Multiplica $\frac{3 x + 1}{x}$ por $\frac{1}{{(3 x + 1)}^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x {(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.21

Cancela el factor común de $3 x + 1$ y ${(3 x + 1)}^{2}$ .

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Paso 4.3.21.1

Multiplica por $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(3 x + 1) \cdot 1}{x {(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.21.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.21.2.1

Factoriza $3 x + 1$ de $x {(3 x + 1)}^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(3 x + 1) \cdot 1}{(3 x + 1) x (3 x + 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.21.2.2

Cancela el factor común.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(3 x + 1) \cdot 1}{(3 x + 1) x (3 x + 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.21.2.3

Reescribe la expresión.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x (3 x + 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.22

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x (3 x + 1)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

Paso 4.3.23

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x (3 x + 1)}}{- x^{- 2}}}$

Paso 4.3.24

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x (3 x + 1)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 4.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x (3 x + 1)} \cdot - 1 x^{2}}$

Paso 4.5

Combina $\frac{1}{x (3 x + 1)}$ y $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{x^{2}}{x (3 x + 1)}}$

Paso 4.6

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 4.6.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{x \cdot x}{x (3 x + 1)}}$

Paso 4.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.6.2.1

Cancela el factor común.

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{x \cdot x}{x (3 x + 1)}}$

Paso 4.6.2.2

Reescribe la expresión.

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{x}{3 x + 1}}$

Paso 5

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{- lim_{x \to \infty} \frac{x}{3 x + 1}}$

Paso 6

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x$ .

$e^{- lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Paso 7

Evalúa el límite.

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Paso 7.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 7.1.1

Cancela el factor común.

$e^{- lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Paso 7.1.2

Reescribe la expresión.

$e^{- lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Paso 7.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común.

$e^{- lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Paso 7.2.2

Divide $3$ por $1$ .

$e^{- lim_{x \to \infty} \frac{1}{3 + \frac{1}{x}}}$

Paso 7.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$e^{- \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{1}{x}}}$

Paso 7.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$e^{- \frac{1}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{1}{x}}}$

Paso 7.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$e^{- \frac{1}{lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 7.6

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$e^{- \frac{1}{3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 8

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$e^{- \frac{1}{3 + 0}}$

Paso 9

Suma $3$ y $0$ .

$e^{- \frac{1}{3}}$

Paso 10

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}$